現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む63

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448: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/04/12(金) 20:50:07.94 ID:aUo1NtT0

>>386

”グロタンディークは、・・生成点（英語版）(generic point)と言う考え方を導入した”か（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B6%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E4%BD%8D%E7%9B%B8
ザリスキー位相
(抜粋)
代数幾何学と可換環論において、ザリスキ位相は代数多様体に定義される位相であり、最初はオスカー・ザリスキによって導入された。ザリスキ位相は可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義され、その環のスペクトルと呼ばれる。

ザリスキ位相によって、基礎体が位相体でないときでさえ、代数多様体の研究に位相空間論の道具を使うことができるようになる。このような手法はスキーム論の基本的な考えの1つであり、多様体 (manifold) が局所座標系（実アファイン空間の開部分集合）を貼り合わせて構成されるのと同じように、一般の代数多様体はアファイン多様体を貼り合わせて構成される。

グロタンディークのスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての（既約）代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも点として考えることである。

目次
1 多様体のザリスキ位相

2 現代の定義
2.1 性質
2.2 例

グロタンディエクの Spec を定義した革新的な点は、極大イデアルを全ての素イデアルに置き換えたことであった。極大イデアルが環のスペクトルの中では閉集合を定義とすることができことの単純な一般化であることとして、この定式化では自然である。

性質
トポロジーの古典的描像と新しい描像の最も劇的な変化は、点がもはや閉じている必要はないということである。定義を拡張することで、グロタンディークは、閉包がそれ自体よりも大きい（同じではなく）生成点（英語版）(generic point)と言う考え方を導入した。

例
・体 k のスペクトル Spec k は、一つの元からなる位相空間である。
・整数?のスペクトル Spec ? は、素数 p に対応する極大イデアル (p) ⊂ ?を閉点（英語版）[要リンク修正](closed point) として持ち、零イデアル (0) を閉でない生成点（英語版）(generic point)（すなわち、閉包は全空間となる）として持つ。従って、Spec ? の閉集合全体は、ちょうど有限個の閉点の合併と全体空間からなる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553946643/448

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