現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む63

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290: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/04/07(日) 15:17:56.06 ID:7V7EuNib

メモ
https://www.ipmu.jp/en/node/1486
Vol.20 (2012)
https://www.ipmu.jp/sites/default/files/webfm/pdfs/news20/J_FEATURE.pdf
極小モデル理論、連接層の導来圏、ミラー対称性 Kavli IPMU 准教授 戸田 幸伸 2012
(抜粋)
連接層の導来圏
代数多様体の連接層の導来圏とは1960年代にA.
Grothendieckによって導入された概念です。連接層
の導来圏について説明するために、まずは連接層につ
いて大雑把に解説します。連接層とは、代数多様体上
の関数の概念を抽象化した概念です。例えば代数多様
体上で局所的に多項式の形で書ける関数全体を考える
と、それは構造層という一つの連接層を与えます。し
かし連接層はこれだけではなく、例えば代数多様体の
部分代数多様体上の構造層も一つの連接層を与えま
す。代数多様体上には多くの連接層が存在するのです
が、一つ一つの連接層を「対象」とし、更に二つの連
接層を関係づける「射」を考えることで、連接層全体
に一つの数学的体系を与えることができます。イメー
ジとしては、連接層全体とそれらの間の射を、点の集
合とそれらの間の矢印として捉えると良いでしょう。

連接層の圏は上の様に定義することができますが、
この圏はこれだけではあまり良い性質をもたないことが
分かります。例えば二つの代数多様体の間に写像が存
在した時に、一方の代数多様体上の連接層から他方の
代数多様体上に連接層を与えることを考えましょう。
この時、単純にその様な操作を行うと情報が失われて

しまうことがあるのです。そこで Grothendieck が考
案したのは、連接層ではなく連接層の複体を考えると
いうことです。連接層の複体を前述の点と矢印の例に
例えて説明します。まずは幾つかの有限個の点に1，2，
3・・・と番号を振り、それぞれの番号の点からそれ
より1つ大きい番号の点に向けて矢印を引きます。番
号付けした点に連接層を対応させ、矢印に連接層の間
の射を対応させます。このような図式である特別な性
質を持つものを連接層の複体と呼びます。連接層の導
来圏とは、対象が連接層の複体からなる圏のことです。
射についてはもう少し難しいので、ここでは解説しま
せん。連接層の導来圏を考えると、上述の問題点がクリアできます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553946643/290

334: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/04/07(日) 21:03:18.06 ID:7V7EuNib

>>332
ええ、あなたは君子様ですよねｗ（＾＾
（>>26ご参照）

確率変数の正確な定義を知らず”変数”と誤解した分らない者同士の論争笑えました
Sergiu HART氏”Some surprising results involving the Axiom of Choice, and also without it!”（下記）です

ですから、選択公理なしで、時枝記事類似の”puzzle”が成立つというから、非可測集合は本質ではない
にも関わらずスレ28で ご苦労さま

”固定”：外側の積分において独立性は計算に影響を与えない
でしたね。完全に明後日の議論でしたね

（参考）
スレ28 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/64 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ)
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/01/23(月) 00:31:20.35 ID:jN0I4ddn [1/2]
>>63ですが、理解したつもりです。
結局のところ、固定されたいかなるsでもν(s)≧99/100と言えることがポイントですね。
しかしR^Nがフツーの分布であれば、外側の積分（実行できると仮定）を実行したときの値はゼロに近い。
ゼロに近いと結論した外側の積分計算でRの直積分布、つまりは各箱の独立性が顔を出す余地がある。
独立性を考慮した測度計算によりν(s)≧1/100となるsの測度はゼロに近いと即座に言える。
記事の戦略ではν(s)が定数99/100で押さえられているために、外側の積分において独立性は計算に影響を与えない。

http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu HART The Hebrew University of Jerusalem
(抜粋)
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
PUZZLES
・Choice Games http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.html
Some surprising results involving the Axiom of Choice, and also without it!
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553946643/334

511: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/04/14(日) 23:12:10.06 ID:C5If4iEo

>>497

追加
http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/cgi-bin/gazo.cgi?no=128389
学位論文要旨
森夢空間の幾何学に関する研究 大川,新之介
学位授与日  2012.03.22
http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/data/h23/128389/128389-abst.pdf
論文題目：Studies on the geometry of Mori dream spaces

博士課程における著者の研究は森夢空間(Mori dream space) の幾何学に関するものが主であった。本博士論文はその成果をまとめたものである。本文は4 つの章からなり、第1 章、第2 章は[Ok1]、第3 章は[Ok2]、第4 章は[Ok3] が元になっている。以下、各章の内容を要約する。

http://gakui.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/data/h23/128389/128389-sinsa.pdf
審査要旨

論文提出者大川新之介氏は、森夢空間の一般論の研究を行い、いくつかの基本的な結果を証明した。とくに、森夢空間の全射像は再び森夢空間になることを証明した。この結果は、たとえば極小モデル理論に出てくる森ファイバー空間や飯高ファイバー空間に応用することができるので有用である。

森夢空間の概念は2000年にHu-Keelが導入した。Hu-KeelはGITにおける偏極の変形の研究から森夢空間の概念に到達した。しかしそのあと大きな進展はなかった。最近になってBirkar-Cascini-Hacon-McKernanが標準環の有限生成定理の応用の一つとして、KLT log Fano多様体は森夢空間になるということを証明し、この概念が再び注目を集めることになった。

一般の代数多様体上では因子の線形系の振る舞いは複雑で、いつもよい性質を期待できるわけではない。しかし極小モデル理論では、標準因子Kxまたはその対数版Kx+Bが重要な役割を持ち、これらの因子に限ればその線形系の振る舞いはよいことが期待できる。森夢空間とは、任意の因子の線形系がよい振る舞いをするような特殊な多様体として定義される。

森夢空間は、そのCox環(または全座標環)が有限生成になるような正規射影的代数多様体と定義される。Hu-Keelは森夢空間上では、任意の因子Dに対してD-極小モデル・プログラムを考えることができ、フリップの存在と終結をこめてすべての主張が成り立つことを証明している。

論文提出者大川新之介氏は以下の定理を証明した:

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553946643/511

939: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/04/24(水) 11:21:01.06 ID:8aZqaXs5

>>933-934
>自然数全体の測度を１とし

それ、専門用語ありですね（下記）
確率測度：全空間の値が 1 であって、したがってどの可測集合も単位区間 [0, 1] に値をとるような測度

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96
測度論
(抜粋)
例
・どの確率空間も、全空間の値が 1 であって、したがってどの可測集合も単位区間 [0, 1] に値をとるような測度を生じさせる。そのような測度は確率測度と呼ばれる。
一般化
ある目的においては、"測度" のとる値を非負の実数あるいは無限大に制限しないものも有用である.
たとえば, 可算加法的な集合関数で負符号も許す実数に値をとるものは 符号付測度 と呼ばれる。同様の関数で複素数に値をとるものは複素測度と呼ばれる。
バナッハ空間に値をとる測度はスペクトル測度 (spectral measure ) と呼ばれ、主に関数解析学においてスペクトル定理 (spectral theorem) などに用いられる。
これらの一般化した測度との区別のため、通常の測度を "正値測度" と呼ぶことがある。

https://qiita.com/mo-mo-666/items/731bf1d58a7720aa7739
Qitta @mo-mo-666 20190118
測度論の「お気持ち」を最短で理解する
(抜粋)
数学における「測度論(measure theory)・ルベーグ積分(Lebesgue integral)」の"お気持ち"の部分を，「名前は知ってるけど何なのかまでは知らない」という非数学科の方に向けて書いてみたいと思います．

almost everywhere という考え方
"重み"をいじることもできる
Dirac測度
確率測度
全体の重みの合計が 11 となる測度のことです．これにより，連続的な確率が扱いやすくなり，また離散的な確率についても，(上のDirac測度の類似で離散化して，)高校で習った「同様に確からしい」という概念をちゃんと定式化することができます．

発展 L^pノルムと関数解析

余談 測度論は機械学習に必要か？
機械学習を数理的に研究しようと思うと，関数解析/確率論/情報幾何/代数幾何などが必要だといいます．自分にとってこれらが必要かどうかを見極めることが大事だと思います．

いくつか難しい単語も出てきましたが，なんとなく測度論のイメージを掴めたら幸いです．ありがとうございました．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1553946643/939

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