[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 (1002ﾚｽ)
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381(4): １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/28(月) 01:03:38.54 ID:I3RTouch(1/4) AAS
>>168で「特化した証明」と書きましたが、まったく任意の実数xも含めて考えてみたので書きますね。
当初考えていた証明→ sin のn倍角公式を使うもの
でしたが、オイラーの公式を使った方が簡単。
オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
そして、x:π/n の整数倍 とは限らず、x:任意の実数 でもある程度の分析は可能→命題参照
Qを有理数体、Rを実数体とする。
xをπの整数倍ではない任意の実数とする。K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。
以上のことから次の命題が成立することが分かる。
命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L.
最も簡単なケース（円分体）
e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき
i∈L だとしても、それが「e^(ix)の整数乗」という形で含まれるとは限らないので
sin(x)\not∈K の証明はより難しい。
sinとcos を入れ替えた場合→ x+π/2 として分析できる。
（以上、オイラーの公式と初歩的な代数しか使ってない。）
382(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/28(月) 05:50:18.81 ID:bL+n3Mh7(1/14) AAS
おっちゃんです。
>>381
>最も簡単なケース（円分体）
>e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき
やはり、目指さんとする方向性は違っていた。私は円分体とかの方には余り興味がなく、
代数的な議論もお前さんの議論よりずっと長く、代数方程式に関するガロア理論こそ
使っていないが初歩的な代数だけ使っている訳ではない。
私の証明はそんな単純な議論ではない。以降、お前さんはこの種の内容の余計なレスはしなくていい。
384(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/28(月) 07:25:08.43 ID:bL+n3Mh7(2/14) AAS
>>382
そもそも、>>381が示した命題
>命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L
と私が示した命題が違う。
私の命題はこう見えても或る種の代数的構造を述べるモノだ。
403(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/28(月) 16:44:33.75 ID:DW0f+1h0(3/4) AAS
>>395
>公式をexplicitに書く必要はありません。
>証明の要点だけ書いてもらえますか？
それ大賛成だね
ぐじゃぐじゃ、細かい証明を書いて
投稿した初稿には、必ずといっていいほど訂正が入って
訂正が正誤表のように、あとから来る
そんな証明を読む人がいることが、えらいと尊敬に値するわ
まず略証で良いと思うし、公式はどこかのリンク先とそこからの抜粋コピーを適当に付けておけばいいでしょ
それなら、私でも読もうという気にもなる
（>>381より）
＞sinとcos を入れ替えた場合→ x+π/2 として分析できる。
なるほどね、周期をπ/2ずらすか。π/pだと分母に奇数しかこないからね。それで、あとは同じようにできるかも
まあ、いま時枝の確率変数の話をまとめているので、おっちゃん頼むよ（＾＾
809(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/03(日) 05:09:06.36 ID:wDePzez3(1) AAS
>>381に書いたけどもう一度書くと
Qを有理数体、Rを実数体とする。
オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).
xをsin(x)≠0である任意の実数とする。
（すなわちxはπの整数倍でない任意の実数。）
K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと
L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。
2次拡大であることはいいでしょう？
(i*sin(x))^2=cos(x)^2-1∈K でまた
Kは実の体で、虚数 i*sin(x)は含まれてないからL/Kは真の拡大だ。
2次ということは、2が素数であることから中間体が存在しないということ。
従って、sin(x)がLに含まれるなら、そもそもKに含まれていなければならない。
sin(x)がLに含まれないとき、Q(sin(x))/KはL/Kとは別の2次拡大だ。
次の命題が成立することが分かる。
命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L.
この命題を>>42の問2に適用すると、結局、証明はiがQ(ζ)
（ζは1の原始n乗根）に含まれないことの証明に帰することが分かる。
（ e^(iπ/n)は1の原始2n乗根だが、それは-ζとして
実現できるから、体としてはn乗根の体と同じ。）
これはほとんど自明のようだが、キッチリ証明するためには
大学の数学が必要。
おっちゃんがごちゃごちゃ計算して「証明できた」と言っても
ほぼ確実に間違ってるので、予め注意しておく。
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