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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/
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809: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/03(日) 05:09:06.36 ID:wDePzez3 >>381に書いたけどもう一度書くと Qを有理数体、Rを実数体とする。 オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x). xをsin(x)≠0である任意の実数とする。 （すなわちxはπの整数倍でない任意の実数。） K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。 2次拡大であることはいいでしょう？ (i*sin(x))^2=cos(x)^2-1∈K でまた Kは実の体で、虚数 i*sin(x)は含まれてないからL/Kは真の拡大だ。 2次ということは、2が素数であることから中間体が存在しないということ。 従って、sin(x)がLに含まれるなら、そもそもKに含まれていなければならない。 sin(x)がLに含まれないとき、Q(sin(x))/KはL/Kとは別の2次拡大だ。 次の命題が成立することが分かる。 命題 sin(x)∈K ⇔ i∈L. この命題を>>42の問2に適用すると、結局、証明はiがQ(ζ) （ζは1の原始n乗根）に含まれないことの証明に帰することが分かる。 （ e^(iπ/n)は1の原始2n乗根だが、それは-ζとして 実現できるから、体としてはn乗根の体と同じ。） これはほとんど自明のようだが、キッチリ証明するためには 大学の数学が必要。 おっちゃんがごちゃごちゃ計算して「証明できた」と言っても ほぼ確実に間違ってるので、予め注意しておく。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/809
811: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/03(日) 05:20:54.45 ID:+bCJs7H4 >>809 >おっちゃんがごちゃごちゃ計算して「証明できた」と言っても >ほぼ確実に間違ってるので、予め注意しておく。 従来の代数的証明をするときは、基本的に計算は余りしていない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/811
812: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/03(日) 05:22:31.72 ID:D5XzwUxY 訂正>>809 >Q(sin(x))/KはL/Kとは別の2次拡大だ。 → K(sin(x))/KはL/Kとは別の2次拡大だ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/812
815: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/03(日) 07:34:16.02 ID:+bCJs7H4 >>809 やはり、この問2の命題の証明は、或る事情からやめとく。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/815
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