現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む59

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790: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:02:52.58 ID:N1/kYT9Q

問1 cos(π/n)∈Q(sin(π/n))　の証明。

[第１段]：θは変数とする。このとき、任意の3以上の奇数kについて、
両方共に或る f,g∈Q[X] が存在して sin(kθ)＝f(sin(θ))sin(θ) かつ cos(kθ)＝g(sin(θ))cos(θ)　　　(この行を P(k) と略記)
となることの証明。k＝3 のとき。3倍角の公式から sin(3θ)＝sin(θ)( 3−4sin^2(θ) ) だから、
f∈Q[X] を f(X)＝3−4X^2 とおけば、sin(3θ)＝f(sin(θ))sin(θ)。同様に、3倍角の公式と三平方の定理から、
cos(3θ)＝cos(4cos^2(θ)−3)＝cos(θ)(4( 1−sin^2(θ) )−3)＝cos(θ)(1−4sin^2(θ)) だから、
g∈Q[X] を g(X)＝1−4X^2 とおけば、cos(3θ)＝g(sin(θ))cos(θ)。故に、P(3) となる。k≧3 なる奇数について P(k) となるとする。
両方共に或る f,g∈Q[X] が存在して sin(kθ)＝f(sin(θ))sin(θ)、cos(kθ)＝g(sin(θ))cos(θ) だから、
加法定理、2倍角の公式、三平方の定理とから、sin( (k＋2)θ ) を計算すると、
sin( (k＋2)θ )＝sin(kθ)cos(2θ)＋cos(kθ)sin(2θ)
　　　　　　　　＝f(sin(θ))sin(θ)・cos(2θ)＋g(sin(θ))cos(θ)・sin(2θ)
　　　　　　　　＝f(sin(θ))sin(θ)・(1−2sin^2(θ))＋2g(sin(θ))・sin(θ)cos^2(θ)
　　　　　　　　＝( f(sin(θ))・(1−2sin^2(θ))＋2g(sin(θ))・cos^2(θ) )sin(θ)
　　　　　　　　＝( f(sin(θ))・(1−2sin^2(θ))＋2g(sin(θ))・(1−sin^2(θ)) )・sin(θ)
となる。また、f,g∈Q[X] から、f(X)・(1−2X^2)＋2g(X)・(1−X^2)∈Q[X]。
従って、h_1∈Q[X] を (h_1)(X)＝f(X)・(1−2X^2)＋2g(X)・(1−X^2) とおけば、sin( (k＋2)θ )＝(h_1)(sin(θ))sin(θ) となる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/790

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