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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/
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63: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/26(土) 13:12:15.53 ID:JfQZB3iV 前スレ58 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/812 812 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/01/25(金) 21:15:16.76 ID:sw2GMLb3 [12/29] >>804 選択公理なしで、R^Nから、時枝の数列のしっぽの同値類を作ることができる ということの証明は？ (引用終り) ここで何を問題にしているのは、下記の戸松玲治先生の「8 選択公理」PDFを見て頂きたいのだが 戸松玲治先生の教えるところ、下記のような、 ”選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理である”ということなのだ 上記「R^Nから、時枝の数列のしっぽの同値類を作ることができる」というところで、”無限回の操作”をやっていないだろうか？ そこを、問題にしているのだ 選択公理と等価な命題で、”右逆写像の存在”などもある 同値類分類でやっていることは、簡単に言えば、 全体集合R^Nから、 非可算の同値類の族R^N/〜へ 全ての元の数列 s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ ), ・・・∈R^N たちの コピーを作って入れる とする そうすると、全ての元から、同値類の族R^N/〜の元に対応がつき これ即ち、選択関数が出来たということ であれば、同値類が完成したあとで、いまさら選択関数を議論するなど、屋上屋でしょう つまりは、同値類の族R^N/〜を作る過程の”無限回の操作”として、選択公理を使っていますよねと 「いや、使ってないんだ」というなら、それ証明して下さいということ 証明を出して貰ったら、戸松玲治先生に手紙を送りますよｗ（＾＾； まあ、出せない方に、100万円 http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~tomatsu/cv.html 氏名: 戸松玲治 (とまつれいじ) (抜粋) 1999年4月 東京大学理学部数学科 進学 2001年3月 同上卒業 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/63
64: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/26(土) 13:13:03.05 ID:JfQZB3iV >>63 つづき 2001年4月 東京大学大学院数理科学研究科 修士課程入学 2003年3月 同上修了 2003年4月 東京大学大学院数理科学研究科 博士課程入学 2006年3月 同上修了 2009年4月 - 2011年3月 講師東京理科大学 理工学部数学科 2011年4月- 准教授北海道大学 大学院理学研究院数学部門 （下記は多分 東京理科大 2010頃） https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/m1b/M1B6.pdf 数学IB No.6 11 月13 日配布 担当: 戸松玲治 8 選択公理 (抜粋) 8.3 超絶技巧選択公理 さてもうちょっと選択公理の話題を続けよう. Λ = N の時に, 選択公理を使わなくても直積集合が 空でないことを示せた, と一瞬錯覚してしまう証明を紹介しよう. 略 どこがおかしいのであろうか？実はこの「証明」中では欲しい結論を導いておらず, 任意の自然数n に対して Πn k=1 Ak ≠ Φ であることしか示せていないのである. こういう限界を選択公理でずばっと切 り抜けられるのである. 同様に次の「論法」にも, 欠陥がある: 論理1 順序集合(X,<) において, 任意のx ∈ X に対してx < y となるy ∈ X が存在するとすれ ば, 数学的帰納法によって x1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ (8.1) なるX 内の無限列(xn)∞ n=1 が取れる. 「論法」の数学的帰納法が示しているのは, 各n に対してxn < xn+1 となるxn+1 があることだ けである. 問題はすべてのn に対して同時にx1 < x2 < ・ ・ ・ < xn < ・ ・ ・ となる元を取り出せるか, と いうことにある(これができなければ, 有限時間に生きる我々には議論を終えることができない). 言 い換えるなら, 上記(8.1) を満たすような唯1 つに定まる写像f : N → X (n → xn) が我々にとれる のであろうか？このように,「無限列を作る」という操作は一見簡単に見えて, 実は難しい. 選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理であるといえる. 我々には 不可能であるが, 当然のことのように思えるものだから, 公理として認めようというものである. つ まり選択公理は超絶技巧なのであり, その武器を使用することを許したのである＊ . (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/64
66: １３２人目の素数さん [] 2019/01/26(土) 13:20:02.31 ID:OJu9z/7w >>63 ＞”選択公理とは, このような無限回の操作が可能であることを認める公理である”ということなのだ ＞上記「R^Nから、時枝の数列のしっぽの同値類を作ることができる」というところで、”無限回の操作”をやっていないだろうか？ 同値類の定義は前スレ>>853に示した通り、選択公理は不要。 スレ主は選択公理を使わないと無限集合が構成できないと主張したいのかな？ M={2n|n∈N} はい、選択公理を使わずに偶数全体の集合という無限集合を構成しますた。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/66
71: １３２人目の素数さん [] 2019/01/26(土) 13:32:33.21 ID:OJu9z/7w >>63 ＞つまりは、同値類の族R^N/〜を作る過程の”無限回の操作”として、選択公理を使っていますよねと ＞「いや、使ってないんだ」というなら、それ証明して下さいということ 下記に集合を同値分割できることが選択公理無しに証明されているから読んでみれば？ http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-5_douchi.pdf ＞証明を出して貰ったら、戸松玲治先生に手紙を送りますよｗ（＾＾； 言ったことは守ってね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/71
94: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/26(土) 16:29:10.07 ID:sayuR5HK >>63 >同値類分類でやっていることは、簡単に言えば、 >全体集合R^Nから、 >非可算の同値類の族R^N/〜へ >全ての元の数列 s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ ), ・・・∈R^N たちの >コピーを作って入れる とする R^Nの各要素から、それが属する同値類の集合への写像はできますが それだけでは選択関数にはなりません >そうすると、全ての元から、同値類の族R^N/〜の元に対応がつき >これ即ち、選択関数が出来たということ 「全ての元から、同値類の族R^N/〜の元への対応」というには 同値類の集合から同値類に属する代表元への写像が必要です 同値類の集合が無限個存在するなら、一般的には選択公理が必要です >同値類が完成したあとで、いまさら選択関数を議論するなど、屋上屋でしょう いいえ 同値類の代表元を取る必要がありますから、省略できません >同値類の族R^N/〜を作る過程の”無限回の操作”として、選択公理を使っていますよね 使っていません。選択公理のステートメントを読みましょう。 読まずに勝手に想像するのは頭が良いとはいえません。 必ず公理のステートメントを読みましょう なぜ読まないのですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/94
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