[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/

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168: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/27(日) 07:22:31.48 ID:2muVTg0N >>166 この問題は昔どこかの掲示板で、「学校の試験で cos(x)∈Q(sin(x))を証明しろという問題を出されたけど ルートが外せるわけないですよね？」 と訊いてたひとがいたことから、「おそらく元はこういう話だったんだろう」 と思って回答したことのある問題なんですよ。 勿論、cos(x)∈Q(sin(x))が一般的に言えるはずがないし cox(x)=√(1-sin(x)^2) のルートが一般的に外れるわけがない。 それと、前々スレかでどなたかが貴方のことを 「特化した証明という概念がない」と評していたこと。 証明は「2πが周期であることとnが奇数であることが寄与する」 という意味で「特化した証明」になります。 このような証明は一般的に代数的・数論的になるものです。 なぜなら、解析的な証明というのはx一般に成り立つものであり xの特殊性を反映しにくいからです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/168

169: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/27(日) 07:50:34.44 ID:yq5bMoT+ >>168 全く知らなかったが、掲示板で出されていたような問題だったのか。 >このような証明は一般的に代数的・数論的になるものです。 勿論、既に解決している同じ類の問題の証明は代数的な証明である。 ただ、有理数体Qに sin(2π/n)) を添加した体 Q(sin(2π/n)) とかは用いていない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/169

170: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/27(日) 08:02:54.56 ID:Jg2EKDlj >>168 どもありがとう なんか、それ>>42で期末試験とありましたね（＾＾ ガウスのDA 円分等周論の世界ですね また、あとで いま、ピエロちゃんと遊んでいるのでね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/170

172: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/27(日) 08:06:42.79 ID:yq5bMoT+ >>168 まあ、同じ類の問題といっていいのかというと微妙ではある。 もしかしたら、少し方向性が違うかも知れない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/172

175: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/27(日) 08:26:15.01 ID:yq5bMoT+ >>171 全く、>>168は余計なことばかりいうわな。 代数構造についての証明だと、多くは代数的になるのは当たり前なんだが。 まあ、幾何的な手法で構造を調べる証明もあるけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/175

381: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/28(月) 01:03:38.54 ID:I3RTouch >>168で「特化した証明」と書きましたが、まったく任意の実数xも含めて考えてみたので書きますね。 当初考えていた証明→ sin のn倍角公式を使うもの でしたが、オイラーの公式を使った方が簡単。 オイラーの公式: e^(ix)=cos(x)+i*sin(x). そして、x:π/n の整数倍　とは限らず、x:任意の実数 でもある程度の分析は可能→命題参照 Qを有理数体、Rを実数体とする。 xをπの整数倍ではない任意の実数とする。K=Q(cos(x)), L=Q(e^(ix))=K(i*sin(x)) とおくと L/K は2次拡大。また、L∩R=K という関係がある。 以上のことから次の命題が成立することが分かる。 命題　sin(x)∈K ⇔ i∈L. 最も簡単なケース（円分体） e^(ix)の整数乗でi に等しいものがあるとき ⇔ Lが1のn乗根（nは4の倍数）の体のとき i∈L だとしても、それが「e^(ix)の整数乗」という形で含まれるとは限らないので sin(x)\not∈K　の証明はより難しい。 sinとcos を入れ替えた場合→　x+π/2　として分析できる。 （以上、オイラーの公式と初歩的な代数しか使ってない。） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548454512/381

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