[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む59 (1002ﾚｽ)
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789(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 17:53:06.23 ID:N1/kYT9Q(1/8) AAS
おっちゃんです。
>>787
>おっちゃんそっくりである 要するに数学自体はどうでもよくて
>ただ「俺は難しいこと知ってるぞ」と見栄張りたいだけなんですね
何いってんだ。スレ主と私は別人だ。
790(2): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:02:52.58 ID:N1/kYT9Q(2/8) AAS
問1 cos(π/n)∈Q(sin(π/n)) の証明。
[第１段]：θは変数とする。このとき、任意の3以上の奇数kについて、
両方共に或る f,g∈Q[X] が存在して sin(kθ)＝f(sin(θ))sin(θ) かつ cos(kθ)＝g(sin(θ))cos(θ) (この行を P(k) と略記)
となることの証明。k＝3 のとき。3倍角の公式から sin(3θ)＝sin(θ)( 3−4sin^2(θ) ) だから、
f∈Q[X] を f(X)＝3−4X^2 とおけば、sin(3θ)＝f(sin(θ))sin(θ)。同様に、3倍角の公式と三平方の定理から、
cos(3θ)＝cos(4cos^2(θ)−3)＝cos(θ)(4( 1−sin^2(θ) )−3)＝cos(θ)(1−4sin^2(θ)) だから、
g∈Q[X] を g(X)＝1−4X^2 とおけば、cos(3θ)＝g(sin(θ))cos(θ)。故に、P(3) となる。k≧3 なる奇数について P(k) となるとする。
両方共に或る f,g∈Q[X] が存在して sin(kθ)＝f(sin(θ))sin(θ)、cos(kθ)＝g(sin(θ))cos(θ) だから、
加法定理、2倍角の公式、三平方の定理とから、sin( (k＋2)θ ) を計算すると、
sin( (k＋2)θ )＝sin(kθ)cos(2θ)＋cos(kθ)sin(2θ)
＝f(sin(θ))sin(θ)・cos(2θ)＋g(sin(θ))cos(θ)・sin(2θ)
＝f(sin(θ))sin(θ)・(1−2sin^2(θ))＋2g(sin(θ))・sin(θ)cos^2(θ)
＝( f(sin(θ))・(1−2sin^2(θ))＋2g(sin(θ))・cos^2(θ) )sin(θ)
＝( f(sin(θ))・(1−2sin^2(θ))＋2g(sin(θ))・(1−sin^2(θ)) )・sin(θ)
となる。また、f,g∈Q[X] から、f(X)・(1−2X^2)＋2g(X)・(1−X^2)∈Q[X]。
従って、h_1∈Q[X] を (h_1)(X)＝f(X)・(1−2X^2)＋2g(X)・(1−X^2) とおけば、sin( (k＋2)θ )＝(h_1)(sin(θ))sin(θ) となる。
791: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:04:47.68 ID:N1/kYT9Q(3/8) AAS
(>>790の続き)
同様に考えて、加法定理、2倍角の公式、三平方の定理を適用して、
cos( (k＋2)θ ) を計算すると、
cos( (k＋2)θ )＝cos(kθ)cos(2θ)−sin(kθ)sin(2θ)
＝g(sin(θ))cos(θ)・cos(2θ)−f(sin(θ))sin(θ)・sin(2θ)
＝g(sin(θ))cos(θ)・(1−2sin^2(θ))−f(sin(θ))・2sin^2(θ))cos(θ)
＝( g(sin(θ))(1−2sin^2(θ))−2f(sin(θ))sin^2(θ)) )cos(θ)
となる。また、f,g∈Q[X] から、g(X))(1−2X^2)−2f(X)・X^2∈Q[X]。従って、h_2∈Q[X] を (h_2)(X)＝g(X))(1−2X^2)−2f(X)・X^2 とおけば、
cos( (k＋2)θ )＝(h_2)(sin(θ))cos(θ) となる。ここに、kは3以上の奇数としているから、k+2 は3以上の奇数である。故に、P(k+2) となる。
kは3以上の奇数と仮定されているから、kに関する帰納法が適用出来て、帰納法により任意の3以上の奇数kについて P(k) となる。
792(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:07:22.10 ID:N1/kYT9Q(4/8) AAS
(>>790の続き)
[第２段]：故に、任意の3以上の奇数kについて、或る g∈Q[X] が存在して cos(kθ)＝g(sin(θ))cos(θ)。
同様に、第１段で示した命題から、任意の3以上の奇数kについて、或る f∈Q[X] が存在して sin(kθ)＝f(sin(θ))sin(θ)。
[第３段]：ところで仮定から、kは正の奇数だから、[第２段]の cos(kθ)＝g(sin(θ))cos(θ) の両辺に θ＝π/k を代入すると、
cos(π)＝g(sin(π/k))cos(π/k)、従って g(sin(π/k))cos(π/k)＝-1。故に、g(sin(π/k))≠-1 から cos(π/k)＝-1/( g(sin(π/k)) )。
g∈Q[X] から g(sin(π/k))∈Q(sin(π/k)) だから、-1/( g(sin(π/k)) )∈Q(sin(π/k))。故に、cos(π/k)∈Q(sin(π/k))。
793: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:11:34.09 ID:N1/kYT9Q(5/8) AAS
問2 sin(π/n)はQ(cos(π/n))には含まれないことを示せ。
も今日中に書こうとしたが、証明を書いている間に時間が来たから、これは明日か何か。
794: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:15:12.63 ID:N1/kYT9Q(6/8) AAS
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
796(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:21:38.17 ID:N1/kYT9Q(7/8) AAS
>>795
ケンカ売ったのはそっちだろ。
797: １３２人目の素数さん [sage] 2019/02/02(土) 18:24:49.76 ID:N1/kYT9Q(8/8) AAS
三角関数と複素数のド・モアブルの公式との間には密接な関係があるんだが。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。
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