[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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304(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:44:31.31 ID:sK9fzKOh(4/10) AAS
>>303 関連
無限集合ついでに、
∀ｎ∈Nについて語られて命題は、自然数N全体を尽くすということですね
ペアノの公理との関連で言えば、任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
それは自然数N全体に及ぶということ
現代数学のZFC公理系では、無限公理を含むため、
任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
無限公理によって、そのような対象は、可算無限集合になる
各ｎは有限なれど、それは可算無限集合を形成し、自然数Nを尽くす
詳しくは、下記をご参照
なので、反例の構成は失敗していません（>>46）
前スレ57 2chｽﾚ:math
の反例 数列の長さｍの有限モデル も∀ｍ∈Nについて語っているので、同じことですよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
1.自然数 0 が存在する。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
03. はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4.異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
305: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:47:19.01 ID:sK9fzKOh(5/10) AAS
>>304 タイポ訂正 （タイプミスが多い（＾＾； ）
∀ｎ∈Nについて語られて命題は、
↓
∀ｎ∈Nについて語られた命題は、
310: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/19(土) 10:20:11.08 ID:LRwYC/w0(7/36) AAS
>>304
>現代数学のZFC公理系では、無限公理を含むため、
>任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
>無限公理によって、そのような対象は、可算無限集合になる
スレ主は無限公理を全然理解してないことがまるわかり
まず空集合｛｝(=0)は集合である（空集合の公理）
任意の集合{0,・・・,n-1}(=n)について、
これにnを追加したもの{0,・・・,n}も
集合である（和集合の公理）
上記は無限公理なしに言える
しかし、それだけでは{0,・・・｝(=N)が集合であるとは言えない
Nが集合であると定めるのが、無限公理
>各ｎは有限なれど、それは可算無限集合を形成し、自然数Nを尽くす
各ｎは有限集合だから、無限公理抜きに
いくら１つづつ元を追加しても有限集合のまま
可算無限集合にはなり得ない
したがって
>なので、反例の構成は失敗していません（>>46)
>数列の長さｍの有限モデル も∀ｍ∈Nについて語っているので、同じことですよ
は全くの誤りで、スレ主は無限列における反例の構成に完全に失敗している
全ての有限モデルで反例だからといって、無限モデルで反例があるとはいえない
スレ主は無限公理を持ち出して自爆した
もし任意の有限集合の存在から、無限集合の存在がいえるなら
無限公理は必要ないはず
しかし、実際には無限集合の存在を主張するには無限公理が必要
318: １３２人目の素数さん [] 2019/01/19(土) 11:13:27.55 ID:NWH3th4T(7/31) AAS
>>304
＞ペアノの公理との関連で言えば、任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
＞それは自然数N全体に及ぶということ
「任意の n について成立する」という仮定は結論そのものでは？
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