[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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302(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:41:15.51 ID:sK9fzKOh(2/10) AAS
>>290 補足
(引用開始)
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立， と定義されるから，
(2)の扱いだ.
素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
(引用終り)
”任意の”は、基礎論的には、全称記号∀です
英語では、"any" ですが、"for all"（全て）でもあります
「素朴に，無限族を直接扱えないのか? 」とおかしな記述
集合で考えましょう
可算無限集合Aで、その集合の元に対し
∀a∈A→aは整数
が言えれば、A ⊂Z（整数の集合）
で、Aは整数の集合（Zの部分集合）
が言える。
現代数学では、可算無限集合だからと言って、大騒ぎの必要もない
確率変数の（可算）無限族とて同じこと。無限族を、一つの集合として見れば良い
そうすると、無限族の要素について、語るのは通常のことにすぎない
確率変数の独立の定義が、X1とX2と、二つの組み合わせから始まって
ｎ個の組み合わせに至り、ｎ→∞を考えるのもまた、自然な流れ
ここで、”ｎ→∞”という曖昧さの残る表現を避けて、全称記号∀を用い
”∀有限部分族が独立”とするのも、全く自然な現代数学の表記にすぎない
これについて、上記の(1)と(2)を分けること自身が、間違い
ZFCの集合論上で、数学を論じる以上、
集合としての（可算）無限族について、何かを語るためには、
その集合の要素について、語るしかないのだから
なお、無限の対象について
”任意の有限部分族がXXのとき，XX，”という言い回しは、現代数学では結構普通で
コンパクト性定理（下記ご参照）でも、この表現が使われている
https://ja.wikipedia.org/wiki/全称記号
全称記号
(抜粋)
全称記号（universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である。
通常「∀」と表記され、全称量化子、全称限量子、全称限定子、普遍量化子、普通限定子などとも呼ばれる。
つづく
303(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:41:49.41 ID:sK9fzKOh(3/10) AAS
>>302
つづき
記号の意味
「∀xPx」は存在記号と否定記号とを用いて、「¬∃x¬Px」と表現することもできる。
「¬∃x¬Px」は「P でないような x は存在しない」という意味だから、
これはすなわち「全ての x は Pである」ということである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification
Universal quantification
(抜粋)
In predicate logic, a universal quantification is a type of quantifier, a logical constant which is interpreted as "given any" or "for all".
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
(抜粋)
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。
以上
306: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:52:10.67 ID:sK9fzKOh(6/10) AAS
>>302 蛇足
>ZFCの集合論上で、数学を論じる以上、
>集合としての（可算）無限族について、何かを語るためには、
>その集合の要素について、語るしかないのだから
集合の要素は、見ないようにして語りましょう
というのが圏論らしいですがね（詳しくないですが）（＾＾
307: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/19(土) 10:03:52.70 ID:LRwYC/w0(5/36) AAS
>>302
>無限を扱うには，
>(1)無限を直接扱う，
>(2)有限の極限として間接に扱う，
>二つの方針が可能である.
>確率変数の無限族は，
>任意の有限部分族が独立のとき，独立，
>と定義されるから，(2)の扱いだ.
>上記の(1)と(2)を分けること自身が、間違い
(1)=(2)と思ってるスレ主が間違い
308: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/19(土) 10:09:51.13 ID:LRwYC/w0(6/36) AAS
>>302
>無限の対象について
>”任意の有限部分族がXXのとき，XX，”という言い回しは、
>現代数学では結構普通で コンパクト性定理でも、
>この表現が使われている
コンパクトでない位相空間は珍しくないが
例えばユークリッド空間はノンコンパクト
自然数全体の集合Nも
任意の自然数nについて
n以上の自然数の集合を
開集合とする位相を入れれば
ノンコンパクト
なぜなら、N全体を覆う
有限個の開集合の被覆
がとれないから
こんなの数学科では常識
知らないスレ主はド素人
315(1): １３２人目の素数さん [] 2019/01/19(土) 11:04:08.32 ID:NWH3th4T(5/31) AAS
>>302
＞ｎ個の組み合わせに至り、ｎ→∞を考えるのもまた、自然な流れ
極限について何かを語るなら、εN論法を理解し、極限の定義を理解してからにしてもらえますか？
316: １３２人目の素数さん [] 2019/01/19(土) 11:07:40.22 ID:NWH3th4T(6/31) AAS
>>302
＞ZFCの集合論上で、数学を論じる以上、
＞集合としての（可算）無限族について、何かを語るためには、
＞その集合の要素について、語るしかないのだから
はい？
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