[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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252(9): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/17(木) 00:34:45.79 ID:UcnpENla(1/2) AAS
>>238-239
いま、思い返せば、Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
では、箱は使ってないね。まあ、箱なんて、数学外の単なる小道具でしかない
本質は、「確率変数」 xiだと
この”「確率変数」 xi”の定義は、重川先生のPDF（>>62）にしっかり書かれている
ちゃんと読めば分る
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf 2013年度前期 確率論基礎 講義ノート
「独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…」は、時枝先生の記事の後半に出てきます
現代確率論の結論は、普通の隔離計算通りで、99/100にはならない
だから、有限長の数列も、時枝先生の記事の後半にある「独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…」も、反例です
あと、非可測の場合で
選択公理を使って、ビタリ集合をちょうど真っ二つに分けたとしましょう
例えば、ビタリ集合をVとして、その元をひとつずつ取り出して、部分集合V1とV2を作る。V1とV2とに交互に入れていきます
そうすると、部分集合V1とV2との間で、交互に入れた元を対応させて、全単射が構成できる。なので、濃度はV1とV2で等しい
実数の集合をR、有理数の集合をQ、無理数の集合をPとして、P＝R＼Qです。ある無理数をAp∈Pとする
Apの属するR/Qの同値類が定まり、同値類の代表v∈Vが定まる
vは、V1に入るかV2に入るか、二択で、どちらに入るかは確率1/2だと。直観ではこうなる。Ω＝{１，２}だと
しかし、それを通常の確率論の測度を使って書くと、λ(Vk)/λ(V)＝1/2 （つまり、λ(V)＝1で、λ(Vk)＝1/2）
(なお、測度の記号λは、下記のヴィタリ集合 wikipediaの記載を借用した)
ところで、ヴィタリ集合はそもそも非可測だから、「λ(V)＝1」が不成立で、λ(Vk)/λ(V)＝1/2は、言えない
この例のように、非可測集合を使うと、直観による確率1/2が非自明になる。1/2を主張するなら、別に証明が必要になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
（参考）
http://alg-d.com/ 壱大整域
http://alg-d.com/math/ac/ 選択公理
http://alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回 関西すうがく徒のつどい「数学の諸定理と選択公理の関係」 PDF版
253: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/17(木) 00:36:39.63 ID:UcnpENla(2/2) AAS
>>252 タイポ訂正
現代確率論の結論は、普通の隔離計算通りで、99/100にはならない
↓
現代確率論の結論は、普通の確率計算通りで、99/100にはならない
255: １３２人目の素数さん [] 2019/01/17(木) 01:21:05.25 ID:+5wG+BxZ(4/9) AAS
>>252
＞この例のように、非可測集合を使うと、直観による確率1/2が非自明になる。1/2を主張するなら、別に証明が必要になる
時枝解法は「直観による確率」自体を使っていないので、解法を否定する何の論拠にもならない。
258(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/17(木) 07:20:10.08 ID:8Ofuub0x(1/5) AAS
>>252
>非可測の場合で選択公理を使って、
>ビタリ集合をちょうど真っ二つに分けたとしましょう
この例は適切でないな
例えばヴィタリ集合は有理数を１つしか含まない
したがってヴィタリ集合の各要素に有理数を加えることで平行移動できる
ここで
V1=もとのヴィタリ集合に[0,1/2)に含まれる有理数を加えて平行移動した集合の合併
V2=もとのヴィタリ集合に[1/2,1)に含まれる有理数を加えて平行移動した集合の合併
ヴィタリ集合をR/Z（商集合）から構築していれば、V1∪V2でRになる
またV2はV1の平行移動になる
ではV1とV2の測度は1/2づつにできるか？
おそらく測度論から上記の結論を導くことはできないと思われる
で、このことが時枝記事の否定につながるかといえばつながらない
そもそも上記の方法で測度が導けないから確率が求まらないというなら
スレ主の「無限列でも偶然の確率以上で当てることはできない」という主張も
正当化できないことになる
259: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/17(木) 07:22:48.89 ID:8Ofuub0x(2/5) AAS
>>252
>時枝先生の記事の後半にある「独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…」も、反例です
これ、スレ主の誤読
262(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/17(木) 10:59:57.30 ID:VGxaltOU(1/4) AAS
>>252
>現代確率論の結論は、普通の隔離計算通りで、99/100にはならない
>だから、有限長の数列も、時枝先生の記事の後半にある「独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…」も、反例です
補足
(引用開始)
過去スレ35 2chｽﾚ:math 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
(抜粋)
独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される
(引用終わり)
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h18kogi/h18prob1.html
記載責任者： 樋口 保成 神戸大
H18 確率論I
対象学部・学年：理学部数学科 3年
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h18kogi/prob1-9.pdf
確率論 I 第９回講義ノート2006.12.08
4 独立確率変数列の極限定理
4.1 独立性
P28
無限個の確率変数{Xλ；λ? Λ} が独立とはこの中の任意有限個の確率変
数の組Xλ1, ・・・,Xλn が独立なときに言う．
(引用終わり)
上記の通りなので、無限個の確率変数の扱いは、その中の一つ一つの P(Xj ? Aj) 達の確率を個別に計算するだけで良い
P(Xj ? Aj)は、サイコロなら1/6、
（>>237より）Sergiu Hart氏のPDF {0, 1, ・・・, 9}と10個の任意の数を入れるなら、的中確率1/10
区間[0, 1]の任意実数を入れるなら、的中確率０
時枝記事の後半のさわりに書いてある通り。
測度論による現代確率論の無限個の確率変数の扱いはこれです
99/100にはなりません。よって反例です。
（参考）
http://www.math.kobe-u.ac.jp/home-j/higuchi.html
樋口?保成
神戸大学理学部数学科
神戸大学大学院理学研究科数学専攻
http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/higuchi.html
樋口 保成
何を研究しているのか：
・個人的な動機
確率論はいろんな分野に応用されていますが、 とくに統計物理学への確率論の応用に興味を持っています。
264(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/17(木) 11:51:13.93 ID:VGxaltOU(3/4) AAS
>>252 補足
(引用開始)
vは、V1に入るかV2に入るか、二択で、どちらに入るかは確率1/2だと。直観ではこうなる。Ω＝{１，２}だと
しかし、それを通常の確率論の測度を使って書くと、λ(Vk)/λ(V)＝1/2 （つまり、λ(V)＝1で、λ(Vk)＝1/2）
ところで、ヴィタリ集合はそもそも非可測だから、「λ(V)＝1」が不成立で、λ(Vk)/λ(V)＝1/2は、言えない
この例のように、非可測集合を使うと、直観による確率1/2が非自明になる。1/2を主張するなら、別に証明が必要になる
(引用終わり)
ここで、多分、一番批判されるのは、「確率の定義」でしょうね
測度を用いないで、確率をどう定義するのか？
二番目は、”V1に入るかV2に入るかどうか、二択だから”→Ω＝{１，２}が、証明できるか？
（批判想定問答その１）
私：確率を非可測集合のヴィタリ集合の場合に拡張し、新しい定理を考えました！（＾＾
数学科生S：測度を用いない確率の定義は？
私：頻度主義を採用します。頻度主義から、ｖ∈Vが必ず言えるので、確率P（ｖ∈V）＝１は言えます
数学科生S：では、頻度主義で、確率P（ｖ∈V1）＝1/2はどうやって言えますか？
例えば、√2,√3,・・・,√p,・・・ と、素数の平方根を取ったとき、V1に属する確率は？
私：いじわる質問ですね。選択公理を使っているので、具体的な無理数がV1に属するかV2に属するかは言えません！（＾＾；
数学科生S：それでは、頻度が決まらないので、頻度主義を採用できませんね？
（ちゃんちゃん）
（批判想定問答その２）
私：vは、V1に入るかV2に入るか、二択です。V1とV2は、各元で対応付けが出来ていて（>>252）、濃度が等しい。
どちらに入るかは確率1/2だ。つまり、Ω＝{１，２}だ
数学科生S：VとV1、V2たちが、可測なら、それは言えるが、非可測なら、自明ではない。証明が必要です。
私：いじわる質問ですね。上記の通り、明らかでしょ？（＾＾；
数学科生S：「明らかでしょ？」で済めば、数学における証明は、ほとんど不要になる。
「自明でしょ？」で済まさずに、Ω＝{１，２}をちゃんと証明をするのが数学ですよ
それ、数学になっていませんね！！
（ちゃんちゃん）
時枝記事の非可測集合による確率計算に同じ
つづく
267: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/17(木) 19:11:37.93 ID:8Ofuub0x(4/5) AAS
>>264
>（批判想定問答その１）
>数学科生S：測度を用いない確率の定義は？
測度を用いているので見当違い
>私：頻度主義を採用します。
Ω={1,・・・,100}による確率計算を
「頻度主義」と思うのは
スレ主の馬鹿げた誤解
>（批判想定問答その２）
>私：濃度が等しい。どちらに入るかは確率1/2だ。
そもそも>>252の例が不適切なので無意味
>（無限集合Vの）元をひとつずつ取り出して、部分集合V1とV2を作る。
>V1とV2とに交互に入れていきます そうすると、部分集合V1とV2との間で、
>交互に入れた元を対応させて、全単射が構成できる。なので、濃度はV1とV2で等しい
>v∈Vは、V1に入るかV2に入るか、二択で、どちらに入るかは確率1/2だと。
Vを[0,1]とします
Vの中の３進カントール集合と、その補集合はどちらも非可算無限ですから
全単射が構成できます。しかし３進カントール集合の測度は０で、
その補集合の測度は１です
濃度が測度と無関係なのは数学では常識ですが
スレ主はご存知なかったようですｗ
ちなみに>>258の例なら２つの集合は合同変換で移りあう
しかし、だからといって同じ測度だと結論することはできない
バナッハ・タルスキの逆説のような場合がないとはいえないから
（ちなみにS^1上なら、バナッハ・タルスキの逆説の方法は
通用しないがだからといって、安心できるわけではない）
277(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/18(金) 07:15:32.72 ID:N9NpO178(1/2) AAS
>>252
えーと、誤読する人がいるのでちょっと補足訂正しておきます。
これ、結構、自分ではこの例は気に入っています（＾＾
（非可測集合の不適切確率計算例書き直し）
非可測集合の確率計算の不適切例を示します。
選択公理を使って、ビタリ集合をちょうど真っ二つに分けたとしましょう
ビタリ集合をVとして、その元をひとつずつ取り出して、部分集合V1とV2を作る。V1とV2とに交互に入れていきます
そうすると、部分集合V1とV2との間で、交互に入れた元を対応させて、全単射が構成できる。なので、濃度はV1とV2で等しい
実数の集合をR、有理数の集合をQ、無理数の集合をPとして、P＝R＼Qです。ある無理数をAp∈Pとする
Apの属するR/Qの同値類が定まり、同値類の代表v∈Vが定まる
vは、V1に入るかV2に入るか、二択で、どちらに入るかは確率1/2だと。
直観ではこうなる。Ω＝{１，２}だと
しかし、それを通常の確率論の測度記号を使って書くと、
（実際には、測度は定義されないが）
λ(Vk)/λ(V)＝1/2 （つまり、λ(V)＝1で、λ(Vk)＝1/2）
(なお、測度の記号λは、下記のヴィタリ集合 wikipediaの記載を借用した)
ところで、ヴィタリ集合はそもそも非可測だから、「λ(V)＝1」が不成立で、
λ(Vk)/λ(V)＝1/2 （ここにk=1,2）は、言えない
（もちろん、λ(Vk)にも如何なる値も定義できない（「ヴィタリ集合」wikipediaご参照））
この例のように、非可測集合を使うと、直観による確率1/2が非自明になる。
1/2を主張するなら、別に証明が必要になる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
（参考）
http://alg-d.com/ 壱大整域
http://alg-d.com/math/ac/ 選択公理
http://alg-d.com/math/ac/tsudoi3.pdf
第三回 関西すうがく徒のつどい「数学の諸定理と選択公理の関係」 PDF版
392(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/20(日) 07:57:19.57 ID:E155svvR(2/10) AAS
>>391
1)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・,sn0，sn0+1,・・・)，
s'=(s'1， s'2， s'3，・・・,s'n0，sn'0+1,・・・)∈R^N
は，ある番号から先のしっぽが一致する
∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき
同値s 〜 s'と定義する
ここで、一般性を失わずに、
sを問題の数列、
s'を代表としよう
すると、決定番号は、d=n0 となる
2)
ところで、s'の選び方は任意である
故に、決定番号n0が、自然数としていろんな値を取り得る
だから、時枝の”ふしぎな戦略”が成り立つのだ
3)
ところで、確率を考えるとき、定量的な評価が必要だ
例えば、
s = (s1，s2，s3，s4，s5,・・・)
s' = (s'1，s'2，s'3，s'4，s'5,・・・)
で、
決定番号 d=n0=1となる場合、R^1
決定番号 d=n0=2となる場合、R^2
決定番号 d=n0=3となる場合、R^3
・
・
決定番号 d=n0=mとなる場合、R^m
決定番号 d=n0=m+1となる場合、R^m+1
・
・
となるから、
番号 d=n0=mとなる場合よりも
決定番号 d=n0=m+1となる場合は、R倍多い
つまりは、mより大きい決定番号になるs' が選ばれる可能性が、Rのベキ倍常に大きい
4)
数列から、決定番号dを与える関数を
h：s → d
とする
hが可測関数かどうか？ （これ言い換えると、定量的な評価が求められたと思う）
これの証明が求められたんだけど、これの証明ってあるかな？
（>>265ご参照）
もし、非可測だと、>>252のビタリの例で示したように、d1>d2 の確率は、
確率1/2が非自明になる。1/2を主張するなら、別に証明が必要になる
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