[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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204(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 14:39:59.33 ID:mTkr94n/(2/3) AAS
>>203
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
http://www.f-denshi.com/
ときわ台学
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/240rng.html
ときわ台学 The 講義
(抜粋)
４ 多項式環
［多項式］
可換環R 上の多項式 r とは，係数と呼ばれる ｒ1，r2，・・・rrn ∈ R と不定元 x を用いて，
r ＝ r0＋r1x＋r2x2＋・・・＋rnxn ，n ∈ 整数 （＝ r0＋r1・x＋r2・x2＋・・・＋rrn・xn ）
の形で表せるものを多項式いう。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, ...) を A の元として、
Σ _{n=0}^{∞}a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ? m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
(引用終わり)
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/index.html
整数論事始 総目次
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/3_2.html
3.2 一変数多項式と形式的冪級数 著者:梅谷 武 更新:2013-06-17
(抜粋)
?この可換環の元の列で0でない元が無限にあるものを形式的冪級数、0でない元が有限のものを多項式、多項式の中で特0でない元が1個しかないものを単項式といいます。
(引用終わり)
http://mathematics-pdf.com/pdf/
PDF形式の数学ノート よしいず
http://mathematics-pdf.com/pdf/formal_power_series.pdf
形式的冪級数(144KB, 11/01/26)
(抜粋)
?この可換環Rの係数列の集合から成る可換環をR上の形式的冪級数環といいます。特に0でない元が有限個だけの係数列から成る部分集合を考えると、これは加法と乗法に関して閉じていますので形式的冪級数環の部分環になっていますが、これをR上の多項式環といいます。
(引用終わり)
つづく
205(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 14:40:34.15 ID:mTkr94n/(3/3) AAS
>>204
つづき
（たとえ話）
男(Pie)：いま、確率を計算しているんだ
友人：どんな確率計算だい？
男(Pie)：乃木坂の生田絵梨花、齋藤飛鳥、白石麻衣の３人のうち、だれの手紙が一番早く自分に届くかの確率計算さ
友人：ファンレターでも出したのかい？ その返事か？
男(Pie)：いや、夢に出てきてね。３人が手紙を俺に出すと言っていたんだ〜
友人：それが、現実化する確率は０（ゼロ）だよ
男(Pie)：いや、Ω＝{1,2,3}だ。だって３人だもの。齋藤飛鳥からの手紙が最初に来る確率は1/3だ〜！ これを否定するなら選択公理が否定される。ペアノも否定されるよ！（＾＾
友人：絶句
いやはや、妄想もここまで来れば立派ですね（＾＾；
ちゃんちゃん、お後がよろしいようで
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B9%83%E6%9C%A8%E5%9D%8246
乃木坂46
以上
223(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 23:59:33.37 ID:IoQw/Dy0(2/2) AAS
>>203-204
多項式環を使ったのは、意図があってね（＾＾
多項式環の元の多項式の次数ｎは、ペアノの公理を満たす
環なので、積和で閉じている
ｎ次多項式に対して、１次の多項式の積を作れば、n+1次式になる
よって、ベクトル空間として、多項式環の次元は可算無限になる（下記）
だから、多項式環によって構成された反例を、ペアノの公理をもって、これを排除することはできないのだった
なお、当然ながら、多項式の次数ｎは、全ての自然数を尽くす
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
多項式環 F[x]（上述）の次元は可算無限（基底の一つは 1, x, x^2, … で与えられる）
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