[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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203(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 14:37:20.13 ID:mTkr94n/(1/3) AAS
多項式環と形式的冪級数環を考えよう
（数学的には、後の引用ご参照）
時枝記事に合わせると、
箱が有限なら、多項式の係数a1,a2,・・・an に当たる
箱が無限個なら、それは形式的冪級数における、係数a1,a2,・・・an,・・・
と対応する。
ｎ次多項式（有限モデル）で時枝類似の同値類を考える
係数a1,a2,・・・anで
明らかに、同値類はanで決まる。
同値類の代表F(x)=a1+a2x^2+a3x^3+・・・+an-1x^(n-1)+anx^n
に対し
ある式 F'(x)=a1'+a2'x^2+a3'x^3+・・・+an-1'x^(n-1)+anx^n
において、もしランダムにF(x)と F'(x)とを選んだと考える
その係数が、整数であっても、有理数であっても、実数であっても
an-1 ＝ an-1'となる確率は０（ゼロ）だろう
よって、決定番号が、ｋ （ 1 <= k <= n-1 (つまりｎ以外)）となる確率は０（ゼロ）だ
（ k番目からn-1番目までの全ての係数が一致する確率は、０（ゼロ）だということ）
さて、形式的冪級数環（無限モデル）において上記同様（それは時枝記事と同じ）に、同値類を考える
上記の多項式環の場合と同様に、同値類はan n→∞ で決まる
よって、決定番号が、ｋ （ 1 <= k < ∞ ）となる確率は０（ゼロ）だ
（ k番目から無限の彼方のシッポまでの全ての係数が一致する確率は、０（ゼロ）だということ）
なお、確率が０（ゼロ）と、それが実現できないこととは異なることを注意しておく
例えば、代表F(x)=a1+a2x+a3x^3+・・・+an-1x^(n-1)+anx^n
に対し
ある式 F'(x)=a1'+a2x^2+a3x^3+・・・+an-1x^(n-1)+anx^n
のように、決定番号を２にしようと、人為的に奇跡を構成すれば、実現可能だから
形式的冪級数環においても同様である
これを、時枝記事について考えるに
有限モデルに相当する、多項式環内での次数ｎが大きい多項式の同値類では、
それより小さい決定番号 ｋ （ 1 <= k <= n-1 の確率は、０（ゼロ）
同様に、（時枝記事に相当する）無限モデルの形式的冪級数環においても同じく
ｋ （ 1 <= k < ∞ ）となる確率は０（ゼロ）
つまりは、Ω＝{1,2,・・・,100}などは、
「起こりえない奇跡の中の確率計算をしているのに等しい」ということ
以上
つづく
204(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 14:39:59.33 ID:mTkr94n/(2/3) AAS
>>203
つづき
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
http://www.f-denshi.com/
ときわ台学
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/240rng.html
ときわ台学 The 講義
(抜粋)
４ 多項式環
［多項式］
可換環R 上の多項式 r とは，係数と呼ばれる ｒ1，r2，・・・rrn ∈ R と不定元 x を用いて，
r ＝ r0＋r1x＋r2x2＋・・・＋rnxn ，n ∈ 整数 （＝ r0＋r1・x＋r2・x2＋・・・＋rrn・xn ）
の形で表せるものを多項式いう。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
(抜粋)
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, ...) を A の元として、
Σ _{n=0}^{∞}a_{n}X^{n}=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ? m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
(引用終わり)
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/index.html
整数論事始 総目次
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/3_2.html
3.2 一変数多項式と形式的冪級数 著者:梅谷 武 更新:2013-06-17
(抜粋)
?この可換環の元の列で0でない元が無限にあるものを形式的冪級数、0でない元が有限のものを多項式、多項式の中で特0でない元が1個しかないものを単項式といいます。
(引用終わり)
http://mathematics-pdf.com/pdf/
PDF形式の数学ノート よしいず
http://mathematics-pdf.com/pdf/formal_power_series.pdf
形式的冪級数(144KB, 11/01/26)
(抜粋)
?この可換環Rの係数列の集合から成る可換環をR上の形式的冪級数環といいます。特に0でない元が有限個だけの係数列から成る部分集合を考えると、これは加法と乗法に関して閉じていますので形式的冪級数環の部分環になっていますが、これをR上の多項式環といいます。
(引用終わり)
つづく
208: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/15(火) 18:40:49.73 ID:gFamkfTH(8/8) AAS
>>203
>無限モデルの形式的冪級数環においても同じく
>ｋ （ 1 <= k < ∞ ）となる確率は０（ゼロ）
これ、アウトねｗ
というのは、決定番号が何であれ自然数の値をとる確率は１だから
一方決定番号は可算個だから、可算加法性を満たすなら
どの自然数についても確率０なら、総和も０とせねばならない
しかし、それは同値関係の定義に反するから矛盾
つまり「非可測なので確率は求まらない」とするのが正しい
（現に非可測集合の非可測性の証明は
上記のような方法で行われている）
>つまりは、Ω＝{1,2,・・・,100}などは、
>「起こりえない奇跡の中の確率計算をしているのに等しい」
全くの誤り
いかなる無限列も、自分の同値類の代表元とは同値である
したがって、ある自然数ｎが存在して、そこから先の尻尾が一致する
つまり、決定番号が何であれ自然数の値をとる確率は１
したがって、Ω＝{1,2,・・・,100}は
「確実に起こり得る状況の中の確率計算」
である。
ザ・ン・ネ・ン・デ・シ・タ
223(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 23:59:33.37 ID:IoQw/Dy0(2/2) AAS
>>203-204
多項式環を使ったのは、意図があってね（＾＾
多項式環の元の多項式の次数ｎは、ペアノの公理を満たす
環なので、積和で閉じている
ｎ次多項式に対して、１次の多項式の積を作れば、n+1次式になる
よって、ベクトル空間として、多項式環の次元は可算無限になる（下記）
だから、多項式環によって構成された反例を、ペアノの公理をもって、これを排除することはできないのだった
なお、当然ながら、多項式の次数ｎは、全ての自然数を尽くす
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベクトル空間
多項式環 F[x]（上述）の次元は可算無限（基底の一つは 1, x, x^2, … で与えられる）
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