[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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189(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 08:00:16.67 ID:IoQw/Dy0(1/2) AAS
ペアノの公理は、現代数学大系の中では、ZFC公理系の中に包含されているので
正確には、公理と呼ぶのは間違いだが、歴史的にそういう名称で呼ばれている
（詳しくは、下記 ”Rei Frontier Tech Blog ZFC公理系について：その2”）
で、我々は、すでにZFCの中で、自然数を構成して、それを使っているということを忘れている人がいる
それ、単に後者が存在するというだけのことですよね
それは、任意の自然数ｍを取ったときも同じことが言える
で、さらに言えば、無限集合としての自然数Nは、公理系としては、ペアノの公理だけでは達成できない
無限公理が、無限集合の存在には必要だ
それについては、下記などを読めば、どこにでも書いてある
「ペアノの公理で、有限と無限を区別できる」と、錯覚している人がいるようだね
http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042
Rei Frontier Tech Blog
ZFC公理系について：その1 20171102
(抜粋)
今回皆様にお話するのは、現代数学の土台であり、我々が普段接する数学的対象をつくる素材を提供してくれる、ZFC公理系にまつわるお話です。
・はじめに
・命題と論理式
・外延性公理と集合
・非順序対と合併
・無限公理と無限系譜
・分出公理と共通部分
(引用終り)
http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/09/100000
同
ZFC公理系について：その2 20171109
(抜粋)
本記事の目的は、自然数全体の集合Nを定義し、その性質（の一部）を述べることです。
・べき集合の公理、自然数の全体
・ペアノの公理
(引用終り)
http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/16/100000
同
ZFC公理系について：その3 20171116
(抜粋)
前前回、前回につづいて、ZFC公理系の残りの公理を紹介していきます。
・写像と選択公理
・順序対、直積
・写像、一般の直積、選択公理
・順序数、ZFC公理系
・順序関係と順序数
・正則性公理
・置換公理
・参考文献
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ZF 公理系
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory （ZFC）
190: １３２人目の素数さん [] 2019/01/15(火) 08:45:33.74 ID:UXQgqgyz(3/8) AAS
>>189
＞それ、単に後者が存在するというだけのことですよね
やはり何も分かってなかったｗ
206: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/15(火) 18:39:05.73 ID:gFamkfTH(6/8) AAS
>>189
>無限集合としての自然数Nは、
>公理系としては、ペアノの公理だけでは達成できない
>無限公理が、無限集合の存在には必要だ
無限公理を一度でも見たことがあるなら
「ペアノの公理を満たす自然数全てを
要素としてもつ集合が存在する」
という形になってるとわかるｗ
無限公理
「以下の条件を満たす集合ωが存在する
｛｝（＝０）はωの要素
ｘがωの要素なら、ｘ∪｛ｘ｝（＝suc(x)）はωの要素」
上記のωには末端（つまりsuc(x)が存在しないｘ）は存在しない
一方、スレ主の有限モデルは{1,・・・,m}だから、
どんなmを選んでも、suc(m)は要素でないｗ
無限モデルはω＝{0,・・・｝であって終端の要素はない！
>「ペアノの公理で、有限と無限を区別できる」
>と、錯覚している人がいるようだね
無限公理の形を見れば、ペアノの公理が基になってるとわかる
つまり、これで有限と無限が区別されている
無限公理のない集合論のモデルの中には
無限集合が存在しないものがある
つまり、
｛｝は集合である (空集合の公理からいえる）
ｘが集合なら、ｘ∪｛ｘ｝（＝suc(x)）は集合である
（和集合の公理からいえる）
というだけで、集合ωが存在しないモデルがある
スレ主の「有限モデルの世界」はまさにそのようなものだ
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