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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/
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189: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/15(火) 08:00:16.67 ID:IoQw/Dy0 ペアノの公理は、現代数学大系の中では、ZFC公理系の中に包含されているので 正確には、公理と呼ぶのは間違いだが、歴史的にそういう名称で呼ばれている （詳しくは、下記 ”Rei Frontier Tech Blog ZFC公理系について：その2”） で、我々は、すでにZFCの中で、自然数を構成して、それを使っているということを忘れている人がいる それ、単に後者が存在するというだけのことですよね それは、任意の自然数ｍを取ったときも同じことが言える で、さらに言えば、無限集合としての自然数Nは、公理系としては、ペアノの公理だけでは達成できない 無限公理が、無限集合の存在には必要だ それについては、下記などを読めば、どこにでも書いてある 「ペアノの公理で、有限と無限を区別できる」と、錯覚している人がいるようだね http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042 Rei Frontier Tech Blog ZFC公理系について：その1 20171102 (抜粋) 今回皆様にお話するのは、現代数学の土台であり、我々が普段接する数学的対象をつくる素材を提供してくれる、ZFC公理系にまつわるお話です。 ・はじめに ・命題と論理式 ・外延性公理と集合 ・非順序対と合併 ・無限公理と無限系譜 ・分出公理と共通部分 (引用終り) http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/09/100000 同 ZFC公理系について：その2 20171109 (抜粋) 本記事の目的は、自然数全体の集合Nを定義し、その性質（の一部）を述べることです。 ・べき集合の公理、自然数の全体 ・ペアノの公理 (引用終り) http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/16/100000 同 ZFC公理系について：その3 20171116 (抜粋) 前前回、前回につづいて、ZFC公理系の残りの公理を紹介していきます。 ・写像と選択公理 ・順序対、直積 ・写像、一般の直積、選択公理 ・順序数、ZFC公理系 ・順序関係と順序数 ・正則性公理 ・置換公理 ・参考文献 (引用終り) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 ZF 公理系 https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory （ZFC） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/189
190: １３２人目の素数さん [] 2019/01/15(火) 08:45:33.74 ID:UXQgqgyz >>189 ＞それ、単に後者が存在するというだけのことですよね やはり何も分かってなかったｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/190
206: １３２人目の素数さん [sage] 2019/01/15(火) 18:39:05.73 ID:gFamkfTH >>189 >無限集合としての自然数Nは、 >公理系としては、ペアノの公理だけでは達成できない >無限公理が、無限集合の存在には必要だ 無限公理を一度でも見たことがあるなら 「ペアノの公理を満たす自然数全てを 要素としてもつ集合が存在する」 という形になってるとわかるｗ 無限公理 「以下の条件を満たす集合ωが存在する ｛｝（＝０）はωの要素 ｘがωの要素なら、ｘ∪｛ｘ｝（＝suc(x)）はωの要素」 上記のωには末端（つまりsuc(x)が存在しないｘ）は存在しない 一方、スレ主の有限モデルは{1,・・・,m}だから、 どんなmを選んでも、suc(m)は要素でないｗ 無限モデルはω＝{0,・・・｝であって終端の要素はない！ >「ペアノの公理で、有限と無限を区別できる」 >と、錯覚している人がいるようだね 無限公理の形を見れば、ペアノの公理が基になってるとわかる つまり、これで有限と無限が区別されている 無限公理のない集合論のモデルの中には 無限集合が存在しないものがある つまり、 ｛｝は集合である (空集合の公理からいえる） ｘが集合なら、ｘ∪｛ｘ｝（＝suc(x)）は集合である （和集合の公理からいえる） というだけで、集合ωが存在しないモデルがある スレ主の「有限モデルの世界」はまさにそのようなものだ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/206
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