[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 (1002ﾚｽ)
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300: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:36:31.59 ID:sK9fzKOh(1/10) AAS
まず
>>284 追加訂正（ケアレスミスが多いな（＾＾； ）
・V1∩V2 ＝φ
・V1∩V2 ＝ V
↓
・V1∩V2 ＝φ
・V1∪V2 ＝ V
302(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:41:15.51 ID:sK9fzKOh(2/10) AAS
>>290 補足
(引用開始)
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う， (2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立， と定義されるから，
(2)の扱いだ.
素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
(引用終り)
”任意の”は、基礎論的には、全称記号∀です
英語では、"any" ですが、"for all"（全て）でもあります
「素朴に，無限族を直接扱えないのか? 」とおかしな記述
集合で考えましょう
可算無限集合Aで、その集合の元に対し
∀a∈A→aは整数
が言えれば、A ⊂Z（整数の集合）
で、Aは整数の集合（Zの部分集合）
が言える。
現代数学では、可算無限集合だからと言って、大騒ぎの必要もない
確率変数の（可算）無限族とて同じこと。無限族を、一つの集合として見れば良い
そうすると、無限族の要素について、語るのは通常のことにすぎない
確率変数の独立の定義が、X1とX2と、二つの組み合わせから始まって
ｎ個の組み合わせに至り、ｎ→∞を考えるのもまた、自然な流れ
ここで、”ｎ→∞”という曖昧さの残る表現を避けて、全称記号∀を用い
”∀有限部分族が独立”とするのも、全く自然な現代数学の表記にすぎない
これについて、上記の(1)と(2)を分けること自身が、間違い
ZFCの集合論上で、数学を論じる以上、
集合としての（可算）無限族について、何かを語るためには、
その集合の要素について、語るしかないのだから
なお、無限の対象について
”任意の有限部分族がXXのとき，XX，”という言い回しは、現代数学では結構普通で
コンパクト性定理（下記ご参照）でも、この表現が使われている
https://ja.wikipedia.org/wiki/全称記号
全称記号
(抜粋)
全称記号（universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である。
通常「∀」と表記され、全称量化子、全称限量子、全称限定子、普遍量化子、普通限定子などとも呼ばれる。
つづく
303(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:41:49.41 ID:sK9fzKOh(3/10) AAS
>>302
つづき
記号の意味
「∀xPx」は存在記号と否定記号とを用いて、「¬∃x¬Px」と表現することもできる。
「¬∃x¬Px」は「P でないような x は存在しない」という意味だから、
これはすなわち「全ての x は Pである」ということである。
https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification
Universal quantification
(抜粋)
In predicate logic, a universal quantification is a type of quantifier, a logical constant which is interpreted as "given any" or "for all".
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
(抜粋)
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理である。
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。
以上
304(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:44:31.31 ID:sK9fzKOh(4/10) AAS
>>303 関連
無限集合ついでに、
∀ｎ∈Nについて語られて命題は、自然数N全体を尽くすということですね
ペアノの公理との関連で言えば、任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
それは自然数N全体に及ぶということ
現代数学のZFC公理系では、無限公理を含むため、
任意のｎについて成立し、かつｎ＋１についても成立するならば、
無限公理によって、そのような対象は、可算無限集合になる
各ｎは有限なれど、それは可算無限集合を形成し、自然数Nを尽くす
詳しくは、下記をご参照
なので、反例の構成は失敗していません（>>46）
前スレ57 2chｽﾚ:math
の反例 数列の長さｍの有限モデル も∀ｍ∈Nについて語っているので、同じことですよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
1.自然数 0 が存在する。
2.任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
03. はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
4.異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
5. がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
305: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:47:19.01 ID:sK9fzKOh(5/10) AAS
>>304 タイポ訂正 （タイプミスが多い（＾＾； ）
∀ｎ∈Nについて語られて命題は、
↓
∀ｎ∈Nについて語られた命題は、
306: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 09:52:10.67 ID:sK9fzKOh(6/10) AAS
>>302 蛇足
>ZFCの集合論上で、数学を論じる以上、
>集合としての（可算）無限族について、何かを語るためには、
>その集合の要素について、語るしかないのだから
集合の要素は、見ないようにして語りましょう
というのが圏論らしいですがね（詳しくないですが）（＾＾
386(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 22:54:39.30 ID:sK9fzKOh(7/10) AAS
ああ、複数の人がいたのか（＾＾
なるほど
で、サイコパス全開になった人が一人
後の人は、ノーマルみたいだね
私の診断は、アスペではなく、サイコですけどね
まあ、見ての通りです。まともな議論できる人じゃ無い
論理とサイコが常に混在しているんだ
それが、普通に応答に顔を出す、やっかいな性格だね（＾＾；
387: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 22:55:38.66 ID:sK9fzKOh(8/10) AAS
あら、良いタイミングで被ったな（＾＾
388: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 22:58:57.64 ID:sK9fzKOh(9/10) AAS
”ID:LRwYC/w0さん（スレ主にずっと付き合ってる）”
は、逆に言えば
おれが、サイコに、適度に付合っているんだよ（＾＾
「時枝が不成立なら、選択公理が否定される」と宣う時代からね
389: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/01/19(土) 23:06:27.67 ID:sK9fzKOh(10/10) AAS
ところで、例の「確率変数が、箱に入れられない」って話し
だれか、解答を教えてあげない？ >>62 重川一郎先生 に書いてあるって話しなんだけど
まあ、 >>62 重川一郎先生でなくとも、どこにでもある
レベルが上がらないから、そろそろ解答を書こうと用意しているんだがね
（>>36）「確率変数については、自得するまで基本的には、教えないことにします」
と書いたけれどね
おれが書くより
サイコちゃんにとっては、その方がためになるだろうと思うから（＾＾
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