[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む54 (652ﾚｽ)
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1(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/10/28(日) 08:56:13.27 ID:6dvusTGC(1/33) AAS
このスレは、皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てた）
165(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 10:58:01.55 ID:wolAe+UC(4/14) AAS
つづき
b)「ν＝1のとき、ｘ＝0で連続」を示す
１）ｘ＝0に対応するｙはｙ＝0。
２）ｙ軸の方向から値を見ると
定義より、有理数で1/q、無理数で0
３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
（0-δ、0+δ）＝（0-1/q、0+1/q）を考えると、
この区間内の有理数p'/q'（但しp'、q'は互いに素）の分母q'は、qより大
（∵ qより小なら、p'/q'＞1/qだから）
４）よって、そのような点では、f(x)＝1/q'<1/q<εである。
（qが負の場合も同様に論じることが、出来る）
５）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
よって、ｆはｘ＝０で連続である
６）これは、通俗的に言えば、
ｘ＝0の近傍にある有理点x＝1/qで、ｙ＝1/qの値であり、
x＝1/qより原点に近い有理数は、分母がqより大なので、ｙの値は1/qより小さい
だから、ｘ＝0の近傍では、有理点で1/qを筆頭にそれより小さい値が密集している
だから、ｘ＝0の近傍では、隙間が見えない（＝連続）ってことです。（＾＾
つづく
166(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 11:02:08.65 ID:wolAe+UC(5/14) AAS
>>165
つづき
さて
c)については、lim x→0 について収束のε-δ 論法 使う
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式
lim _{x → a}f(x) = b
を ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0 ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ R , 0<|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε
となる。 s.t. は such that の略で ﾖ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。
すなわち
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ。
という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。
(引用終り)
c)
「ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能」を示す
１）まず、ｘ＝0で微分可能を示すためには、f'(x) ＝ 0 つまり
f'(x) ＝ lim x→0 |(f(x)-f(0)/(x-0))| =0を示せば良い
定義 f(x) ＝ 0より、 |(f(x)-f(0)/(x-0))| = |f(x)/x| となる
（なお、定義より、f(p/q) ＝ (1/q)^2 、無理数でf(x) ＝0を再掲しておく）
２）ｘ＞0（正）から0に近づくとする
３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
上記b)同様に、ｘの区間[0、1/q]を考えると、
この区間内の有理数p'/q'の分母q'（但しp'、q'は互いに素）は、qより大
４）ｘ＝1/qで、|f(x)/x| =1/q
ｘ＝p'/q'で、|(f(x)-f(0)/(x-0))| =1/(p'q')
”q'>q かつ p'>=1” だから、1/(p'q') < 1/q
（なお、無理数点ではf(x)=0なので、|f(x)/x| =0）
５）従って、ｘの区間[0、1/q]内の任意の点で、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立つ
６）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
７）ｘ＜0（負）から0に近づく場合も、同様に、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立ち、ε-δ 論法成立
８）よって、ｘ＝0で微分可能
つづく
167(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 11:04:26.58 ID:wolAe+UC(6/14) AAS
>>166
つづき
（なお、c)については、数学板で同様の証明が示されたことがあり見た記憶があり（多分質問スレだった）それが元ネタであることを附言しておく。
ここの過去スレ46に、下記投稿があり
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46
68 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/12(日) 09:23:27.23 ID:tybpW7Vy [1/7]
>>1への問題（大学1年程度）
Q1. [0,1]上至るところで不連続な関数を１つ示せ
Q2. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で連続な関数を１つ示せ
Q3. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能（当然連続）な関数を1つ示せ
(引用終り)
それ刺激になって、上記（多分）質問スレへの証明投稿や、定理1.7の話につながって、今に至るという流れです）
以上です
補足
ε-δ 論法というのは、こういうへんてこな関数を扱うのに、非常に便利な道具ですね
証明の道筋を示してくれますし、ε-δ 論法にそって証明を進めると、自然に証明が完成します
が、”ε-δ 論法”絶対視ではなく、視野を広げておく方が良いでしょう（過去レスの通り）
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