[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む54 (652ﾚｽ)
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162: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 07:41:04.46 ID:wolAe+UC(1/14) AAS
>>161
[問]
確率過程論の本を読むのは難しいですか？
それなら、大学へ聴講に行かれたらどうですか？
163(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 10:54:21.31 ID:wolAe+UC(2/14) AAS
>>161
>スレ主は定義をコピペしていても定義にそのまま当てはめることすらできないんだよなあ
はい（＾＾
では、ε-δ 論法の証明の習作をば以下に
>>156
>今回トマエ関数とかを考えると、”ε-δ”役に立つと思ったね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim _{x → a}f(x)=f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。
この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。
これを ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0 ∀ a∈ I, ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ I, |x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε
となる。
(引用終り)
さて
ディリクレ関数、トマエ関数 の変形で
f(x) ＝ (1/q)^ν （ν>=0 ） 但し ｘ＝p/q（有理数で、p、qは互いに素な整数）
f(x) ＝ 0 但し ｘ＝s (sは無理数)
とします
なお、後の都合で、
f(x) ＝ 0 但し ｘ＝0 とする
（>>17より）
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に示す通りだが
・ν＝0のとき、ディリクレ関数で、いたる所不連続
・ν＝1のとき、トマエ関数で、有理数Qで不連続、有理数Pで不続
・ν＞2のとき、modified ruler functionで、有理数P中に微分可能な点が出てくる
となります
（元の関数はf(0) ＝ 1だが、f(0) ＝ 0と定義すると、
ν＝2のとき、原点で微分可能になるのです（後述の通り） ）
つづく
164(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 10:56:01.63 ID:wolAe+UC(3/14) AAS
>>163
つづき
さて
「f(x) ＝ 0 但し ｘ＝0」つまり、f(0)=0と定義したので、
a)ν＝0のとき、ｘ＝0で不連続
b)ν＝1のとき、ｘ＝0で連続
c)ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能
となる
ここで、まずa)とb)の二つを、
上記 関数の連続の”ε-δ”で、簡単に示そうと思う
（>>124には、この通俗解説を書いたのでご参照下さい）
a)「ν＝0のとき、ｘ＝0で不連続」を示す
１）ｘ＝0に対応するのはｙ＝0。
２）ｙ軸の方向から値を見ると
定義より、有理数で１、無理数で0
３）ということは、
どんなにδを小さく取って
（0-δ、0+δ）を考えても、
ここに必ず有理点が含まれf(x)=1となる点がある
４）よって、そのような点では、｜f(x)-f(0)｜＝1であって、
”<ε”（小さいεを取ること）は実現できない
（ε-δ 論法不成立）
５）よって、f(0）で不連続である
６）これは、通俗的に言えば、
ｘ＝0の近傍に有理点でｙ＝1の点が必ずある
だから、” |f(x)-f(a)|<ε”は不可ということ
PS
ディリクレ関数をグラフで書くと、
ｙ＝１とｙ＝０の二本の線が横に伸びている図になる
しかし、ベール先生（範疇定理）の目では、
ｙ＝１の線は疎（痩せている）
ｙ＝０の線は密（太っている）
と見えるのです（＾＾
（普通にぼんやり眺めると、見分けがつきませんが）
つづく
165(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 10:58:01.55 ID:wolAe+UC(4/14) AAS
つづき
b)「ν＝1のとき、ｘ＝0で連続」を示す
１）ｘ＝0に対応するｙはｙ＝0。
２）ｙ軸の方向から値を見ると
定義より、有理数で1/q、無理数で0
３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
（0-δ、0+δ）＝（0-1/q、0+1/q）を考えると、
この区間内の有理数p'/q'（但しp'、q'は互いに素）の分母q'は、qより大
（∵ qより小なら、p'/q'＞1/qだから）
４）よって、そのような点では、f(x)＝1/q'<1/q<εである。
（qが負の場合も同様に論じることが、出来る）
５）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
よって、ｆはｘ＝０で連続である
６）これは、通俗的に言えば、
ｘ＝0の近傍にある有理点x＝1/qで、ｙ＝1/qの値であり、
x＝1/qより原点に近い有理数は、分母がqより大なので、ｙの値は1/qより小さい
だから、ｘ＝0の近傍では、有理点で1/qを筆頭にそれより小さい値が密集している
だから、ｘ＝0の近傍では、隙間が見えない（＝連続）ってことです。（＾＾
つづく
166(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 11:02:08.65 ID:wolAe+UC(5/14) AAS
>>165
つづき
さて
c)については、lim x→0 について収束のε-δ 論法 使う
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
(抜粋)
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式
lim _{x → a}f(x) = b
を ε-δ 論法で書くと
∀ ε >0 ∃ δ >0 s.t. ∀ x∈ R , 0<|x-a|<δ → |f(x)-b|<ε
となる。 s.t. は such that の略で ﾖ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。
すなわち
任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ。
という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。
(引用終り)
c)
「ν＝2のとき、ｘ＝0で微分可能」を示す
１）まず、ｘ＝0で微分可能を示すためには、f'(x) ＝ 0 つまり
f'(x) ＝ lim x→0 |(f(x)-f(0)/(x-0))| =0を示せば良い
定義 f(x) ＝ 0より、 |(f(x)-f(0)/(x-0))| = |f(x)/x| となる
（なお、定義より、f(p/q) ＝ (1/q)^2 、無理数でf(x) ＝0を再掲しておく）
２）ｘ＞0（正）から0に近づくとする
３）ε>1/q>0と置く。さらに δ＝1/qとおく
上記b)同様に、ｘの区間[0、1/q]を考えると、
この区間内の有理数p'/q'の分母q'（但しp'、q'は互いに素）は、qより大
４）ｘ＝1/qで、|f(x)/x| =1/q
ｘ＝p'/q'で、|(f(x)-f(0)/(x-0))| =1/(p'q')
”q'>q かつ p'>=1” だから、1/(p'q') < 1/q
（なお、無理数点ではf(x)=0なので、|f(x)/x| =0）
５）従って、ｘの区間[0、1/q]内の任意の点で、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立つ
６）εを任意に小さくしても、同じ論法ができるので、ε-δ 論法成立
７）ｘ＜0（負）から0に近づく場合も、同様に、|f(x)/x|<= 1/q <ε が成り立ち、ε-δ 論法成立
８）よって、ｘ＝0で微分可能
つづく
167(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 11:04:26.58 ID:wolAe+UC(6/14) AAS
>>166
つづき
（なお、c)については、数学板で同様の証明が示されたことがあり見た記憶があり（多分質問スレだった）それが元ネタであることを附言しておく。
ここの過去スレ46に、下記投稿があり
2chｽﾚ:math
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46
68 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/12(日) 09:23:27.23 ID:tybpW7Vy [1/7]
>>1への問題（大学1年程度）
Q1. [0,1]上至るところで不連続な関数を１つ示せ
Q2. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で連続な関数を１つ示せ
Q3. [0,1]上の有理数で不連続、無理数で微分可能（当然連続）な関数を1つ示せ
(引用終り)
それ刺激になって、上記（多分）質問スレへの証明投稿や、定理1.7の話につながって、今に至るという流れです）
以上です
補足
ε-δ 論法というのは、こういうへんてこな関数を扱うのに、非常に便利な道具ですね
証明の道筋を示してくれますし、ε-δ 論法にそって証明を進めると、自然に証明が完成します
が、”ε-δ 論法”絶対視ではなく、視野を広げておく方が良いでしょう（過去レスの通り）
168: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 11:08:00.13 ID:wolAe+UC(7/14) AAS
>>167 訂正
2chｽﾚ:math
↓
2chｽﾚ:math
170(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 20:22:37.64 ID:wolAe+UC(8/14) AAS
>>169
忠心から、ご忠告申し上げるが
こんなところで、時間を無駄遣いするより、確率過程論の本を一冊読むことをお薦めするよ
>スレ主の「確率論」(>>94など)を使って計算するとδが有限になる確率は
> 0となるのだからおかしくないですか？
それ、私＝スレ主の「確率論」ではないです
>>94は、「で、その流儀の説明（に）倣えば」ってことです
つまりは、そこ
「>>89
>「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
>ということです
>だから決定番号が有限に収まる確率は1になる」を
パロっているというか、茶化しているというか
元々、真っ当な数学理論としては考えて、書いてはいないんですよ
つまり、「>>89 って何か変」ということを言いたいだけのことです
あと、余談だが、時枝記事に対する私の役割は終わったと思っています
まあ、当時もあの記事を批判したけど、
あの時枝記事（数学セミナー 2015年11月号 箱入り無数目）は
中途半端な書き方で、あれじゃ、「パズルとか数学ジョークとか、分らないでしょ」と
記事中に「茶飲み話」と出てくるけどね
で、コルモゴロフ流確率論への批判なら、それなりの書き方があるだろうと
あれじゃ、あの確率解法を真に受ける人が出ますよと（それは不味いだろうと）
その警鐘の意味が一番で。あと、「なんで、正しそうに見える？」という謎解きも興味があったんだ
まあ、だけど、あの話も３年前ですからね
もう、良いでしょう
時枝記事に対する私の役割は終わったと
173: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 21:01:09.98 ID:wolAe+UC(9/14) AAS
>>171
役割は終わったは正しいと思うよ
”未練がましく”というのは誤解だな
（下記）
時枝記事を正しいと誤解する人が出ないようにする役割は残っている
但し、「時枝記事を正しいと信じ込んでいる人を救う力」は、ないみたい
まあ、確率過程論を読んで下さい（＾＾
https://kotobank.jp/word/%E6%9C%AA%E7%B7%B4-640494
コトバンク
未練（読み）ミレン
デジタル大辞泉の解説
(抜粋)
［名・形動］
１ 執心が残って思い切れないこと。あきらめきれないこと。また、そのさま。「未練が残る」「過去に未練はない」「未練な気持ちを引きずる」
174: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 21:03:45.78 ID:wolAe+UC(10/14) AAS
>>172
>スレ主の見解を完膚なきまでに論破してくれると思うぞ
そんなの簡単じゃない
「スレ主の見解を完膚なきまでに論破」するなんて
専門の数学論文１本、時枝記事が正しいとする投稿論文１本紹介してくれ
多分、それで私スレ主は、完全にノックアウトだろうね
だが、東大生と議論するのは、時間の無駄なのでしないよ（＾＾
179(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 22:20:14.89 ID:wolAe+UC(11/14) AAS
>>175
はいはい
論文紹介してね
楽しみに待ってますよ（＾＾
180(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 22:20:53.42 ID:wolAe+UC(12/14) AAS
>>176-178
はいはい
お説の通りです
ご苦労さまです（＾＾
185(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 23:49:33.93 ID:wolAe+UC(13/14) AAS
>>184
君本当に面白いね
なんでも良いから、数学のこと書いたみなよ
近傍でもなんでも良いからさ
君の数学の力量を見せない限りだれもあんたのカキコは信頼されないよね
外野のさらに外から犬の遠吠えかい
一晩時間やったけど、何にも書けない人よ
186(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2018/11/04(日) 23:51:18.29 ID:wolAe+UC(14/14) AAS
>>183
東大東大か
おれも東大生は賢いと思うけどね
で、自分が東大行って
時枝の議論してこいよ
それを、ここに報告しなよ
東大の教官でも良いから、議論してきなよ
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