[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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90(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/01(月) 21:08:33.72 ID:dCRrvhl7(22/27) AAS
（追加貼付）
スレ47 2chｽﾚ:math
245 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/02
ちょっと、ピエロの過去レス46に戻る
スレ46 2chｽﾚ:math
（ピエロ）
181 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/15(水) 19:42:29.78 ID:fz0TcIh0 [2/3]
(抜粋)
さらにいえば、1/q^nを1/e^(-q)に置き換えても
リュービル数では微分不可能https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
(引用終り)
これ、結構面白ね（＾＾
要するに、Proposition 3.1で、無理数で０で有理数でプラス（T(x)＞０ xは有理数）となるどんな関数も、必ずどこか微分不可能な無理数があり、それは稠密だというのだ（下記PDF）
https://kbeanland.wordpress.com/research-articles/
Kevin Beanland ASSOCIATE PROFESSOR OF MATHEMATICS in the Department of Mathematics at Washington and Lee University.
Research Articles
My main research area is Banach space theory but, I have some work in real analysis and know some descriptive set theory as it applies to Banach space theory.
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on
the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not
differentiable.
(引用終り)
105(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/02(火) 11:45:25.56 ID:p6PjQh75(6/14) AAS
>>104
やっぱ、「ぷふ」さんか（＾＾
あなたと、例の「422に書いた定理」の人は、本当にレベル高いね
（書かれた証明にいちゃもんを付けるのは、数十分の一の能力できる。作曲や演奏はできないのに、音楽の批評ができるみたいにね（＾＾ （当然、数学の証明はそれで良いのだが・・。敬意を表して一言））
>無理数で微分可能→開区間で連続→矛盾→無理数で微分可能ではない
>という証明の流れですよ
ところで、いままでも散々出ているし、>>90などにもあるけど
トマエ関数の改良版が実例としてあって、
有理数の1/q^n で、n>2 で、nを十分大きく取ると、無理数の殆どで微分可能になる。リュービル数だけは、微分不能で残る
この場合、有理数の1/q^nで不連続点は、稠密分散のまま
だから、”無理数で微分可能→開区間（a, b）で連続”のところが、厳密な証明になっていないのでは？ と思っています
190(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 21:56:29.85 ID:miqaDy4s(12/12) AAS
>>189 補足
>３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性
で、この定理1.7で首肯できないものの一つが、この拡張です
下記にあるようにP532
T(ai)(x) = 0 if x 無理数, a_n if x = m/n 互いに素な有理数
で、a_n =n^k として、kを大きくする
すると、k＞２で、どんどん微分可能な領域が増える。最後は、Liouville numbersのみが微分不可で残るという
この結果と、定理1.7の一般な稠密性とが、果たして整合するのかどうか？
現実のQと無理数（R ＼ Q）とでは、具体的なQと無理数との相性のような絡み合いがあって
Liouville numbersのように、有理数でよく近似できる数（それは微分不可）で
一方、”Diophantine approximation of algebraic irrationals, called Roth’s Theorem”のように、近似限界のある数（代数的数の性質）（それは微分可能）で
無理数にも個性があるんです（下記「Modifications of Thomae’s function」）
だが、そういうことを全部抽象化した結果が、定理1.7なんですよね
まあ、定理1.7はものすごい強い結果だと・・・本当に成立しているのか？
（（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriも、そういう結果なんですけどね（＾＾ ）
（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
P534
We finish by remarking on some obvious consequences of the previous propositions.
First, for k <= 2, T(1/n^k ) is nowhere differentiable. By Roth’s Theorem, if
α(an) > 2, T(ai ) is differentiable on the set of algebraic irrational numbers. T(1/n^9) is
differentiable at all the algebraic irrationals, e, π, π^2, ln(2), and ζ(3), and not differentiable
on the set of Liouville numbers. Finally, if α(ai ) = ∞, T(ai ) is differentiable on
the set of all non-Liouville numbers. Since the set of Liouville numbers has measure
zero, T(ai ) is differentiable almost everywhere.
(引用終り)
199(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/06(土) 13:56:46.24 ID:sJCr7ecA(6/11) AAS
>>196
>あと、何でもかんでも文献引用してその結果を鵜呑みにする考え方を改めること。
話は逆で、数学のその道の専門家が、投稿論文にして、それを他の人が、引用して・・
その引用のPDFも、まったくゼロから成り立つわけではなく、それ以前の結果を発展させたものになっている。投稿論文で年月が経ったものは、折り紙付きだよ
例えば、（>>90より）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Ｐ535
5. CONCLUDING REMARKS.で
”After the submission of the current manuscript,
the authors were informed that a slightly less general version of Proposition 4.2 can be
found in [9, p. 232].”
とあるよ
つまり、これが逆で、”that a slightly more general version of Proposition 4.2”だったら、この論文は掲載拒否もあったろうし、
掲載されても、将来引用されるべきは、[9, p. 232]の方。つまり、”Kevin Beanland, JamesW. Roberts, and Craig Stevenson”の価値は、圧倒的に低い
でな、定理1.7なども同じで
本来、成立するなら類似の定理があるだろうと思う（>>197などに書いた通りだ）
学生までは、自分の独自証明の定理が、先行する論文の再証明であっても褒められるだろう
だが、院から上は、他者からの評価は、不勉強と言われるだろう
それでも、再証明なり別証明は、証明の当人としては無価値ではないけどね
だが、証明できたと思った定理が成立していないとしたら？
そのためにも、先行研究の調査はしっかり行うべきだと思うぞ
そこは、よく考えた方がいいぜ（＾＾
268(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 16:30:21.37 ID:KgoytC9i(7/15) AAS
>>267 つづき
だから、（>>180）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが
結論は、（>>245より）集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな？
だから、証明の大きな方向が間違っている。
「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく
「R−Bfは、非可算集合（co-meager in R (i.e. the complement of a first category set)）を含む」を証明すべきだと
例えば、（>>90より）下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく
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