[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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402(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 20:14:35.24 ID:dLTvfhGd(7/18) AAS
>>401 つづき
3.By the fundamental theorem of algebra, polynomials in C are rigid in the sense that any polynomial is completely determined by its values on any infinite set, say N, or the unit disk. By the previous example, a polynomial is also determined within the set of holomorphic functions by the finite set of its non-zero derivatives at any single point.
4.Linear maps L(X, Y) between vector spaces X, Y are rigid in the sense that any L ∈ L(X, Y) is completely determined by its values on any set of basis vectors of X.
5.Mostow's rigidity theorem, which states that the geometric structure of negatively curved manifolds is determined by their topological structure.
6.A well-ordered set is rigid in the sense that the only (order-preserving) automorphism on it is the identity function. Consequently, an isomorphism between two given well-ordered sets will be unique.
7.Cauchy's theorem on geometry of convex polytopes states that a convex polytope is uniquely determined by the geometry of its faces and combinatorial adjacency rules.
8.Alexandrov's uniqueness theorem states that a convex polyhedron in three dimensions is uniquely determined by the metric space of geodesics on its surface.
See also
Uniqueness theorem
Structural rigidity, a mathematical theory describing the degrees of freedom of ensembles of rigid physical objects connected together by flexible hinges.
This article incorporates material from rigid on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.
(引用終り)
つづく
403(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 20:15:20.19 ID:dLTvfhGd(8/18) AAS
>>402 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function
Harmonic function
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E9%96%A2%E6%95%B0
調和関数
(抜粋)
数学における調和関数（ちょうわかんすう、英: harmonic function）は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。
調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。
20世紀には、ウィリアム・ホッジ（英語版）、ジョルジュ・ド・ラーム（英語版）、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。
性質
複素関数と2次元調和関数
複素数 z = x + iy (x, y ∈ R) を変数とする複素 1 変数複素関数 f?(z) について、これを実 2 変数の関数として書き直すことができる。
実 2 変数複素関数 w(x, y) = f(z) を、実部と虚部に分解すると w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) (u, v ∈ R), 実部と虚部に対応する実 2 変数の実関数として u(x, y) と v(x, y) が得られる。このとき、w が複素微分可能であれば u(x, y), v(x, y) は実 2 変数の調和関数となる。 コーシー・リーマンの関係式より、2 つの関数 u(x, y), v(x, y) は
（略）
を満たすが、これをベクトル解析の言葉で書き直せば grad u(x, y) = (∂y, −∂x)Tv(x, y) となり、この湧き出し div?grad u(x, y) = Δ u(x, y) はゼロなので、関数 u(x, y) は 2 次元のラプラス方程式を満たす調和関数であることが分かる。同様の方法でまた v(x, y) も調和関数であることが導かれる。すなわち、正則な複素関数の実部と虚部は実調和関数となる。
逆に、2 つの実調和関数がコーシー・リーマンの関係式を満たすとき、それらは共役であるといい、共役な実調和関数の対u(x, y), v(x, y) が与えられると、z = x + iy を変数とする正則関数f(z) = u(x, y) + iv(x, y) が得られる。単連結領域上の実調和関数は共役調和関数を持つ（すなわち正則関数の実部あるいは虚部である）。
(引用終り)
つづく
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