[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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342(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 11:59:38.46 ID:vsfEZQC9(4/17) AAS
>>341 つづき
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
上記との対応は、Q：R−Bf 、R ＼ Q：Bf だ
（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
で、ある開区間（a, b）があって
いまR−BfがQのように、R中に稠密分散しているとする
（a, b）内のQ：R−Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
R ＼ Q：Bf（無理数）の部分集合であるリュービル数も、同様に”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”（まあ、リュービル数自信R中で稠密で、ルベーグ測度０は知られている）
で、集合としてのリュービル数も、開集合でも閉集合でもないし
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
なので、>>313のような”Modifications of Thomae’s function”で、特に急速減少関数では、Qとリュービル数の集合とのみが、” not differentiable”になる
が、ある開区間（a, b）が生じるわけでは、決してない
以上
343: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 12:03:01.72 ID:vsfEZQC9(5/17) AAS
>>342 訂正
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
↓
非可算集合になるから、高々加算の１点からなる閉集合では被覆できないことになる
349: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 13:11:49.51 ID:vsfEZQC9(9/17) AAS
>>342 訂正
（a, b）内のQ：R−Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
↓
（a, b）内のQ：R−Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包は閉区間[a, b]になる”
かな
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%89%E5%8C%85
閉包
(抜粋)
・位相空間において部分集合の閉包はその部分集合を含む最小の閉集合。クラトフスキの閉包公理（英語版） も参照。
(引用終わり)
371(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 23:05:18.90 ID:xixJS48Q(11/11) AAS
>>342 補足
>（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
ここらは、細かいけど、大学の先生の書いたテキスト（教科書）では、きちんと（位相空間について）明示されていることが殆どだね（＾＾
なので、試験（院試）などを考えて、きちんと書くクセを付けた方が良いだろうね
試験の採点では、重要な試験ほど、採点が厳格かつ客観的になり、好意に斟酌してもらえる余地が減るから
（きちんと書いてないと減点対象かも。専門の論文では、スペース（字数制限）の関係で”分るだろう・・”と流している場合も無くはないが）
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