[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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341(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 11:54:07.93 ID:vsfEZQC9(3/17) AAS
>>312 自己レス追加
それで、ちょっと戻ると
（>>128関連）
”Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
ということで、付け加えると、QとR ＼ Qとも、開集合でも閉集合でもない
（ https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14112228884
有理数の全体は開集合でも閉集合でもないが、自然数は閉集合、というのはよく分かりません。ofurospeakerさん yahoo 2013/8/22 ）
つづく
342(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 11:59:38.46 ID:vsfEZQC9(4/17) AAS
>>341 つづき
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
上記との対応は、Q：R−Bf 、R ＼ Q：Bf だ
（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
で、ある開区間（a, b）があって
いまR−BfがQのように、R中に稠密分散しているとする
（a, b）内のQ：R−Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
R ＼ Q：Bf（無理数）の部分集合であるリュービル数も、同様に”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”（まあ、リュービル数自信R中で稠密で、ルベーグ測度０は知られている）
で、集合としてのリュービル数も、開集合でも閉集合でもないし
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
なので、>>313のような”Modifications of Thomae’s function”で、特に急速減少関数では、Qとリュービル数の集合とのみが、” not differentiable”になる
が、ある開区間（a, b）が生じるわけでは、決してない
以上
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