[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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30(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/28(木) 16:57:35.12 ID:XpoKjxLL(6/6) AAS
[続き]
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その３：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)−f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)−f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)−f(x))/(y−x) * (y−x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、本質的には「その２」と全く同じであり、
――――――――――――――――――――――――――――
「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
――――――――――――――――――――――――――――
という原則に立ち返った証明である。ケース２では やはり矛盾が起きているが、もはや
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、〜〜〜」
といった言い回しすらない。それもそもはず、その言い回しをするより前に、示したかった条件「 f は点 x で連続である 」が
導けているからだ。上記の原則に立ち返った場合、「 Q 」が導けた時点で、それ以上何も言う必要がないので、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、〜〜〜」という言い回しすらしていないのが、この証明である。
このような様々な理由により、スレ主の批判は全く批判になってないのである。
40(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/28(木) 23:41:49.82 ID:IsA0R4yK(5/8) AAS
>>30
沢山のレスがありがとう
まあ、ゆっくりやろう
まだ、疑問に思っているのは
下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく
44(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/29(金) 00:05:38.18 ID:wAjWw3D/(1) AAS
>>30
ところで、証明をつっついて悪いが
補題1.5の証明中で
１）
"∀y ∈ R[｜y − x｜ <1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N (y − x)] (1) が成り立つ"
を、条件 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ から導いている
｜y − x｜ <1/M は、そこに書かれているように、ある区間(x-1/M, x+1/M)のことだな
ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
定理1.7の証明は、それで終りでは？
２）
それから、前スレ>>615で
”「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない”
というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
３）
それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y − x｜ <1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N(y − x)] (1) が成り立つ"というけれど
R−Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
それでも、"∀y ∈ R[｜y − x｜ <1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N(y − x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
まあ、年末年始は忙しい
十分レスできないと思うが
貴方も、気張らずにやってください （＾＾
以上
47: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 00:27:48.51 ID:gcYWyS10(2/7) AAS
>>38
＞１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
＞２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ？場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか？
[続く]
48: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 00:29:45.44 ID:gcYWyS10(3/7) AAS
[続き]
R−B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。
「その１(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その２(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その３(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。
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