[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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211(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/07(日) 10:39:04.12 ID:2l42E8SE(2/29) AAS
>>210 つづき
「正確性に疑問」とあるが、和文では、冒頭説明と図が不一致（文「位相空間 C から X への連続全射 p」だが、図はP：Y→X）。この点、英文はしっかりしている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93
被覆空間
(抜粋)
？原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも 5 個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な語句に改訳できる方を求めています。
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。
被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）[1]。
目次
1 定義
1.1 他の定義
2 具体例
3 性質
3.1 共通な局所的性質
3.2 ファイバーの準同型
3.3 持ち上げ
3.4 同値性
3.5 多様体の被覆
4 普遍被覆
5 G-被覆
6 被覆変換
7 モノドロミー作用
8 分類空間や群コホモロジーとの関係
9 一般化
定義
位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
(引用終り)
英 https://en.wikipedia.org/wiki/Covering_space Covering space
212(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/07(日) 10:45:35.23 ID:2l42E8SE(3/29) AAS
>>210-211 つづき
代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね
219(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/07(日) 14:08:43.48 ID:2l42E8SE(9/29) AAS
>>204 戻る
>で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
>開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
>で、R−BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）
>
>で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
>”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね〜、いまいち納得できないんだ（＾＾
(>>212より)"代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね"
この意識がすっかり抜けているように思う
被覆する方の集合BN,Mで証明されれば、即被覆される側の集合Bfでの証明が終わっていると勘違いしているのでは？
それと、被覆について、”稠密（dense）”の意識が希薄だと思う
例えば、定理1.7の証明中で
「補題1:5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
よって, 確かに
Bf ⊆ ∪N,M>=1 BN,M である.
(1) と合わせて, R = Bf ∪ (R−Bf ) ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) ・・・(2)
となる.」
としているけれども、Bfを無理数（R＼Q）、R−Bfを有理数（Q）と考えて
Bf 無理数を、（内点を持つ）閉集合で被覆できているならば
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) (2’)
だけで終わっている。 ”∪ (∪iAi) ”の部分は、蛇足では？
つづく
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