[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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181(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:07:24.95 ID:miqaDy4s(4/12) AAS
>>180 つづき
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) 次に, 天下り的だが, N,M >= 1 に対して
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] }
と置く. このとき, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つことを示す. x ∈ Bf を任意に取る. このと
き, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である. よって, 確か
にBf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M である. (1) と合わせて, R = Bf [ (R−Bf ) ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) ・・・ (2)
となる. 次に, 各BN,M は閉集合であることを示す. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >= 1) はxi → x (i →
+∞) を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには,
∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M ) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]
を示せばよい. さて,
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
が成り立つようなy, z ∈ R を任意に取る. xi → x と補題1.6 により, i が十分大きければ
xi − 1/M < y < xi < z < xi +1/M
つづく
182(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:07:51.43 ID:miqaDy4s(5/12) AAS
>>181 つづき
が成り立つ. そのようなi を何でもいいから1 つ取ると, xi ∈ BN,M に注意して, BN,M の定義か
ら｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y) が成り立つ. よって, 確かに
∀y, z ∈ R[x − 1/M< y < x < z < x +1/M) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]
が言えた. よって, x ∈ BN,M である. よって, BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無
限個の閉集合の和ということになるので, 系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もし
くは, あるN,M >= 1 に対してBN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b) ⊆ BN,M なる開
区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す. x, y ∈ (a, b) を任意に取る.
｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つことを示す. 対称性から, x <= y としてよい. よって, 示すべ
きは｜f(y) − f(x)｜ <= N(y − x) である. もしx = y ならば, 明らかに成り立つ. 以下では, x < y と
してよい. M(y −x)/2 < L を満たす正整数L を何でもいいから1 つ取る. [x, y] をL 等分に分割し
て, 等分点をx からy に向かってx = z0 < z1 < < zL = y とする. より詳しくは,
zi＝ x ＋(y − x)i/L (0 <= i <= L)
である. 各i ∈ [0,L − 1] に対してci = (zi + zi+1)/2 と置くと, 各i ∈ [0,L − 1] に対して
ci − 1/M < zi < ci < zi+1 < ci +1/M ・・・(3)
つづく
259(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 08:20:11.67 ID:KgoytC9i(2/15) AAS
>>255
"実力が伴って無い"は、全く正しい（＾＾
が、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立を主張したのは
私スレ主と、前スレで
401 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH [1/2]
どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外
(引用終り)
と言った人の二人だけ
（>>180-183）の「定理1.7 (422 に書いた定理)」のどこがまずいかというと、
Bf自身と、Bfを被覆するBN,Mとの区別がついていないってことだ
Bfを被覆するBN,Mについて論じて、それが、即Bf自身についても成り立つと思ってしまった
この場合はそうじゃない。
補集合 R−Bf が、有理数Qのように稠密分散されている場合は、Bf自身も内点を持たないし開区間(a, b)など取れない（言われて見れば当たり前）
他の理論の被覆と混同したんだろう
集合の被覆では、被覆する集合と被覆される集合との関係は、他の理論の被覆とは違う（>>212）
ただ、間違いは間違いだから、そこははっきりさせないと数学じゃないが
この証明を書いた人は、おれより大分レベル上で、実力あるよ
また、証明は天才大数学者でも間違うことがあるから、ドンマイだ
>色々なトピックに手をだすのはあまり良くない
ここは、”雑談スレ”という定義だよ
288(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/09(火) 07:12:23.59 ID:Xw3gWI4S(1/8) AAS
>>278
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず
うーんと、下記で
・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
・定理1.7で、”もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”とあるので、X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相と解せられる
・この後、”証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) ”としている
・なので、この証明中では、”X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相”で、完結していると思いますが。
（引用）
(>>178)
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(>>180)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(>>181)
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1)
(引用終り)
以上
530(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/15(月) 19:37:52.81 ID:xsWEHCro(5/7) AAS
>>529 追加
元ＰＤＦを見て貰った方が話は早い
https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明（>>145より）
で、（元ＰＤＦを見ている前提で）
（>>525より）「BfがB_N,Mで被覆されますので
あるB_N,Mの中に開区間が存在し
その区間内でリプシッツ連続になります」
と仰るが、B_N,Mは、定理1.7の証明中に出現するだけで、定理1.7の命題以前には出てきませんね
もし、定理1.7の主張で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」が、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続という主張なら、
被覆側のB_N,Mについての定義は、定理1.7の命題中、又は、その前に置かれるべきだ
また、定理1.7も
「・・・、 f は”B_N,Mの中の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」とでも書くべきでしょう
（”B_N,Mの中の”→”∪N ,M>=1BN,M の中の”と「∪N ,M>=1BN,M 」を使うべきかもしれませんが
（>>181より ”Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つ”ってことですからね ））
だから、定理1.7は、”Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在”を主張しているってことですね
ところが、仰るように（>>525）「あるB_N,Mの中に開区間が存在しその区間内でリプシッツ連続になります」ということしか証明していないと読みました
なので、定理の主張と証明とが、不一致と思います
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