[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
180(10): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:06:03.45 ID:miqaDy4s(3/12) AAS
>>179 つづき
補題1.6 x ∈ R とxi ∈ R (i >= 1) はxi → x (i → +∞) を満たすとする. このとき, 次が成り立つ.
・ ∀y > x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y > xi ] .
・ ∀y < x, ∃i0 >= 1, ∀i >= i0 [ y < xi ] .
証明は単なる"-δ論法なので省略する.
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
つづく
181(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 00:07:24.95 ID:miqaDy4s(4/12) AAS
>>180 つづき
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) 次に, 天下り的だが, N,M >= 1 に対して
BN,M :={x ∈ R ｜ ∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)] }
と置く. このとき, Bf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M が成り立つことを示す. x ∈ Bf を任意に取る. このと
き, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である. よって, 確か
にBf ⊆ ∪N ,M>=1BN,M である. (1) と合わせて, R = Bf [ (R−Bf ) ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N ,M>=1BN,M ) [ (∪i Ai) ・・・ (2)
となる. 次に, 各BN,M は閉集合であることを示す. x ∈ R とxi ∈ BN,M (i >= 1) はxi → x (i →
+∞) を満たすとする. このとき, x ∈ BN,M が成り立つことを示せばよい. そのためには,
∀y, z ∈ R[x − 1/M < y < x < z < x +1/M ) ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]
を示せばよい. さて,
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
が成り立つようなy, z ∈ R を任意に取る. xi → x と補題1.6 により, i が十分大きければ
xi − 1/M < y < xi < z < xi +1/M
つづく
189(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/05(金) 20:13:29.17 ID:miqaDy4s(11/12) AAS
>>188
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう（＾＾
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間(a, b) の
上でリプシッツ連続である．”
この定理1.7の面白さは
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”（>>184）
を著しく拡張しているところだ
つまり、系1.8において、
１）不連続→リプシッツ連続でない
２）微分可能→リプシッツ連続
３）稠密：有理数と無理の稠密性→もっと一般な稠密性（但し、片方は可算無限濃度限定）
の３つの特性で、系1.8を拡張したものが定理1.7になっているってこと
これに匹敵する結果は、>>41-42に書いたが
”Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. ”
つまり、一般な稠密性（但し、H. M. Sengupta and B. K. Lahiriは、可算非可算に関係なく）
”the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.”なのだが
しかし、この discontinuous →リプシッツ連続でないという、上記１）の特性で、定理1.7は拡張されているのだ
そこが、この定理1.7の面白さであり、斬新さだ
成り立てばだがね（＾＾
259(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 08:20:11.67 ID:KgoytC9i(2/15) AAS
>>255
"実力が伴って無い"は、全く正しい（＾＾
が、https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」（>>145）とその証明不成立を主張したのは
私スレ主と、前スレで
401 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/22(金) 13:35:59.80 ID:zkh22JUH [1/2]
どっちもどっち
ID:KNjgsEZnはただの基地外
(引用終り)
と言った人の二人だけ
（>>180-183）の「定理1.7 (422 に書いた定理)」のどこがまずいかというと、
Bf自身と、Bfを被覆するBN,Mとの区別がついていないってことだ
Bfを被覆するBN,Mについて論じて、それが、即Bf自身についても成り立つと思ってしまった
この場合はそうじゃない。
補集合 R−Bf が、有理数Qのように稠密分散されている場合は、Bf自身も内点を持たないし開区間(a, b)など取れない（言われて見れば当たり前）
他の理論の被覆と混同したんだろう
集合の被覆では、被覆する集合と被覆される集合との関係は、他の理論の被覆とは違う（>>212）
ただ、間違いは間違いだから、そこははっきりさせないと数学じゃないが
この証明を書いた人は、おれより大分レベル上で、実力あるよ
また、証明は天才大数学者でも間違うことがあるから、ドンマイだ
>色々なトピックに手をだすのはあまり良くない
ここは、”雑談スレ”という定義だよ
268(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 16:30:21.37 ID:KgoytC9i(7/15) AAS
>>267 つづき
だから、（>>180）
「定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」
で、有理数Qを想定して、仮定の”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”としたところは、うなづけるが
結論は、（>>245より）集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
が出来て、”E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”を、導くべしってことじゃないかな？
だから、証明の大きな方向が間違っている。
「ある開区間の上でリプシッツ連続である」を導くのではなく
「R−Bfは、非可算集合（co-meager in R (i.e. the complement of a first category set)）を含む」を証明すべきだと
例えば、（>>90より）下記のProposition 3.1.の証明の方向を目指すべき
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく
288(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/09(火) 07:12:23.59 ID:Xw3gWI4S(1/8) AAS
>>278
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>Ｘはある空でない集合として固定されてなければならないはず
うーんと、下記で
・定義1.2 (X,O) は、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の定義のために使った
・定理1.7で、”もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”とあるので、X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相と解せられる
・この後、”証明 仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1) ”としている
・なので、この証明中では、”X＝R、位相Oは通常のアルキメデス距離から決まる位相”で、完結していると思いますが。
（引用）
(>>178)
定義1.2 (X,O) は位相空間とする. S ⊆ X は, 高々可算無限個の閉集合Fi ⊆ X が存在して,
・ 各Fiは内点を持たない,
・ S ⊆∪i Fi
が成り立っているとする. このとき,「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」と書
くことにする.
(>>180)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(>>181)
証明
仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai ⊆ Rが存在して, 各Aiは内点を持たず, しかもR−Bf ⊆∪i Aiが成り立つ (1)
(引用終り)
以上
303(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/09(火) 10:33:27.68 ID:zTuDuk+z(6/6) AAS
余談だが
Ruler Function とか、Thomae functionとか、その変形関数は
奥が深くて、いろんな分野と関連している
例えば、位相、連続、リプシッツ、微分、Dini微分、極限、稠密、ハウスドルフ、ルベーグ測度、リュービル数、Diophantine approximation ・・
だれか、学部４年の卒業研究のテーマにして、まとめPDFを作って公開してくれると助かるけどね（＾＾
2018年のその時点までの研究をまとめてもらえると（そのときは、「ここにアップした」と知らせてくれ）
ひょっとして、（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)”もどきの、新定理なり、あるいは既存定理の別証明が
できる可能性もあるよ
342(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/10(水) 11:59:38.46 ID:vsfEZQC9(4/17) AAS
>>341 つづき
（>>180より）
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
上記との対応は、Q：R−Bf 、R ＼ Q：Bf だ
（余談だが、ついでに言うと、>>178の通り (X,O) → (X,d) → (R,d)ってことでしょう ）
で、ある開区間（a, b）があって
いまR−BfがQのように、R中に稠密分散しているとする
（a, b）内のQ：R−Bfと 、R ＼ Q：Bf（無理数）とも、両者”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
R ＼ Q：Bf（無理数）の部分集合であるリュービル数も、同様に”内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”（まあ、リュービル数自信R中で稠密で、ルベーグ測度０は知られている）
で、集合としてのリュービル数も、開集合でも閉集合でもないし
非可算集合になるから、１点からなる閉集合では被覆できないことになる
なので、>>313のような”Modifications of Thomae’s function”で、特に急速減少関数では、Qとリュービル数の集合とのみが、” not differentiable”になる
が、ある開区間（a, b）が生じるわけでは、決してない
以上
382: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 09:57:59.92 ID:clSPRjXH(2/11) AAS
>>380
話は逆で
（>>376に書いた通りだが）
（>>180）”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．”
で、
１）補集合R−Bfが、”が内点を持たない閉集合の可算”有限”和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は、正しい
しかし
２）補集合R−Bfが、”が内点を持たない閉集合の”稠密”分散可算無限和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続とはできない．”が、正しい
補足
１）補集合R−Bfが主に有理数Qで、Bfが主に無理数（ R＼Q）を想定したもの
２）有理数Qが稠密である以上、無理数のみからなる開区間（a, b）など取れるはずもない
中学校レベルの話だろう
529(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/15(月) 11:39:24.20 ID:J2Z0sjPb(2/2) AAS
>>525-526
（>>180より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
ここで、「f はある開区間の上でリプシッツ連続」は、
Bf内に、リプシッツ連続なある開区間(a, b)の存在を主張していると読みましたが？
これ、被覆側のB_N,Mの中で、開区間が存在し、その区間内でリプシッツ連続って主張ですか？
648(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/21(日) 10:31:19.93 ID:KXw6ILfu(2/5) AAS
>>645
「 (a,b) ⊂ B_f となる(a,b)が取れて、f は (a,b) の上でリプシッツ連続である」で良いよ
それで、くどいが、いま問題にしている関数f : R → R が、”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”という定理の主張だと（>>180より）
”f は、ある (a,b) の上でリプシッツ連続である”
↓
”R−Bf は、R中で稠密ではない”
が、自明に言える。これは良いよね
だから、定理1.7は、”R−Bf は、R中で稠密ではない”場合のみしか適用できない
これは良いよね
だから、”系1.8 有理数の点で不連続”（>>643）の場合は、適用外
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.041s