現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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81: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/01(月) 17:16:33.36 ID:dCRrvhl7

>>80 つづき

（以前のスレから関連抜粋）
スレ46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/398
＜引用＞
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
(抜粋)
So, in this paper we
are going to analyze the dierentiability of the real function
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
　　or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.

Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently
not dierentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals. With
respect the dierentiability, we have:
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.
Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them uncountable.

Theorem 2. For ν > 2, let us denote
Cν = { x ∈ R : fν is continuous at x },
Dν = { x ∈ R : fν is dierentiable at x }.
Then, the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/81

312: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/09(火) 21:01:39.68 ID:Xw3gWI4S

>>289 自己レス

R−Bf側の検討が是非必要と思うんだよね〜（＾＾

ちょっと自分の頭の整理を兼ねて書くと・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9E%E3%82%A8%E9%96%A2%E6%95%B0 トマエ関数

で、（>>81より）
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
　　or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.

ここで、ν＝１が、トマエ関数。ν＝0で ”=1 if x = p/q ∈ Q”で、ディリクレの関数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E9%96%A2%E6%95%B0

トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E 関数の不連続点の集合 より）

で、無理数側 ”=0 if x ∈ R ＼ Q”は、トマエ、ディリクレ、両関数で不変

さらに、ν＞２になると、多くの無理数点で微分可能になる。これも、無理数側は不変で、有理数側のみが変化している（詳細は下記）
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/312

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