[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/

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375: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 07:35:26.50 ID:dLTvfhGd >>367 追加コメント さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする The modefied ruler function f is defined by f(x) = F(x) if x is irrational, f(0) = 1, and (さらに有理数で場合けして) f(x) = F(x)　 　 　　if q>= m, x = p/q ∈Q f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q where p and q are relatively prime integers with q > 0. ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる） また、他の条件は、すべて上記に同じ ある無理数点zとその近くの有理点x = p/q (q< m)に対して （f(z) - f(x) ）/(z - x) = (F(z)- F(p/q)- 1/w(q))/(z - p/q ) となる ”F(z)- F(p/q)”の部分は、解析函数なので、p/q→zのとき、”F(z)- F(p/q)”→0 になるので、この場合は、上記のF(x) ≡0 の議論と変わらずそのまま成り立つ よって、このような、有理数 x = p/q ∈Q の場合のみ、”= F(x)+ 1/w(q)”と定めるような、いわゆる除去可能不連続関数とする場合の議論は、 F(x) ≡0 の議論で尽くされている つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/375

376: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 07:38:20.41 ID:dLTvfhGd >>375 つづき さらに 1/w(q)→1/q^ν としてみよう The modefied ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is irrational, f(0) = 1, and (さらに有理数で場合けして) f(x) = 0　 　 if q>= m, x = p/q ∈Q f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q where p and q are relatively prime integers with q > 0. ここに、ν>=0の実数とする この場合も、mが有限の値の場合、不連続点は、分母q がある値ｍ以下の場合のみの有限個になる この場合も、「定理1.7 (422 に書いた定理)」が常に成り立ち ”R−Bf が内点を持たない閉集合の（有限個の）可算和で被覆でき、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”となる しかし、ｍ→∞を考えると、f(x) = 1/q^νの場合のp/qは、任意のQの元まで拡大される この場合 １）ν= 0の場合、いわゆるディリクレ関数になり、f(x)は至る所不連続 ２）ν= 1の場合、いわゆるトマエ関数になり、f(x)は無理数で連続、有理数で不連続となる ３）ν>= 2の場合、f(x)は無理数の多くで微分可能（微分不可能な無理数点も残る）、有理数で不連続 となる なにが言いたいかというと、 f(x)の無理数側の決めは不変だが、有理数側の決めが変わることによって、f(x)全体の特性（連続、不連続、微分可否など）が全く変わってしまうということ これで、「定理1.7 (422 に書いた定理)」の不備が見えるだろう 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明は、無理数側（定理ではBf側）の関数しか扱っていない。 それで証明が完了としている。が、それは上記数理に反するってことだ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/376

383: １３２人目の素数さん [sage] 2018/01/11(木) 10:14:50.34 ID:pCvZqe21 >>375 >さて、f(x) = 0 if x is irrational→f(x) = F(x) if x is irrationalとする > >The modefied ruler function f is defined by >f(x) = F(x) if x is irrational, >f(0) = 1, and >(さらに有理数で場合けして) >f(x) = F(x)　 　 　　if q>= m, x = p/q ∈Q >f(x) = F(x)+ 1/w(q) if q< m, x = p/q ∈Q >where p and q are relatively prime integers with q > 0. > >ここに、 F(x) は、簡単のために、解析函数で多くの多項式や初等関数のように、 >無限大のみに極を持つとする。（有限の範囲に極があっても問題ないが、記述が複雑になる） >>367の補足としてmを或る値として続けて書いているようだが、 解析関数 F(x) の定義域は複素平面Cの弧状連結で開円盤を含む開集合だから、 虚部が0ではない何らかの複素数xに対しても F(x) は定義されることになる。 だが、f(x)＝F(x) としているのに、そのような複素数に対する F(x) の複素数値の定義がどこにもなされていないので、 その定義は意味をなさない。結局実関数 f(x) を直線R上で定義することになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/383

390: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 13:56:37.43 ID:clSPRjXH >>387 もともとは、病的な関数を考えているので（下記）、複素解析の外 だが、解析関数を使って、”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせただけなんだよ（＾＾ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) 病的な (数学) (抜粋) 病的な関数 「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。 微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが至る所微分不可能な関数となるため、そのような病的な関数は少なくとも微分可能な関数と同じだけ存在することが分かる。 実は、ベールのカテゴリー定理により、「ほとんどすべての」連続関数は至る所で微分不可能であるということが示される。 平たく言えば、これは考え得る関数が非常にたくさん存在することが原因である。 大部分は至る所微分不可能であり、描いたり研究したりできる関数は比較的稀で、そのうち興味があったり有用であるものは「行儀が良い」関数でもあることが分かる。 病的な例 ・ワイエルシュトラス関数: 至る所連続だが至る所微分不能な実関数の例。 ・ディリクレ関数（有理数の集合 Q の指示関数）は、有界だがリーマン可積分でない。 ・カントール関数は [0, 1] を [0, 1] の上へ写す単調連続関数だが、ほとんど至るところ微分係数は0である。 (引用終わり) https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1388667288 病的な関数の例は？ dolzarkさん yahoo 2012/6/7 (抜粋) 病的な関数の例は？ 名前を知っているのはカントール関数、高木関数、ディリクレの関数、ワイエルシュトラス関数ぐらいですが、このうち前3つはどんな関数でどこが病的なのか理解できます。 でもワイエルシュトラス関数は何をやっているのか全然分かりません。分かりやすく説明できる代物なのかも分かりませんが、分かりやすく説明してくれませんか？ またこれ以外に病的とされる関数はありますか？ (引用終わり) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/390

391: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 14:02:31.76 ID:clSPRjXH >>388 >元々は、実解析の問題で、より一般に直線R上で考える問題である。 (>>390に書いたが）　”F(x) ≡0 ”（>>375）の話にちょっと、ふくらみをもたせるときに 解析関数という言葉で、膨らませた関数に剛性を持たせると同時に、微分可能性の縛りも入れた それだけのことよ。病的な関数の対比として、解析関数がその対極でもあるしね それだけのことで、定義域を複素数に拡大する話では、元々ないよ（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/391

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