現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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280: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/08(月) 21:10:10.29 ID:KgoytC9i

>>269 追加

突然の引用だが
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。

本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。

不連続性の分類

１．可除不連続点: L? と L+ が有限確定（存在して有限）で相等しいが f(x0) ≠ L であるとき、f(x) は x = x0 に除去可能な不連続点 (removable discontinuity) を持つという。f(x0) の値を変更して「x = x0 においても連続であるようにする」ことができるという意味でこの不連続性は除きうる。

関数の不連続点の集合
・函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
・単調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理（英語版）という。
・トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。
・ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E7%A4%BA%E9%96%A2%E6%95%B0
指示関数
(抜粋)
数学において指示関数（しじかんすう、英: indicator function）、集合の定義関数[1]、特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/280

281: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/08(月) 21:10:58.54 ID:KgoytC9i

>>280 つづき

ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R−Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる
(>>268)
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
の記載より(抜粋)
2. MODIFIED THOMAE FUNCTION.
Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae
function with respect to (ai) as follows:
T(ai)(x)
= 0 if x ∈ R ＼ Q,
= an if x = m/n where m and n are coprime,
= 1 if x = 0.

Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai)
tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.

3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.

Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/281

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