現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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204: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/06(土) 15:05:21.45 ID:sJCr7ecA

>>202 補足

おれがいまいち、定理1.7の証明で理解できないのは

（引用）
”仮定から, 高々可算無限個の閉集合Ai⊆Rが存在して, 各Aiは内点を持たず,
しかもR−Bf ⊆ ∪iAiが成り立つ・・・ (1)”

”Bf ⊆ ∪_N,M>=1 BN,M が成り立つ”

”BN,M は閉集合である. すると, (2) の右辺は可算無限個の閉集合の和ということになるので,
系1.4 により, あるi に対してAiは内点を持つか, もしくは, あるN,M >= 1 に対して
BN,M は内点を持つかのいずれかである. 各Aiは内点を持たないの
だったから, あるN,M >= 1 に対してBN,M が内点を持つことになる. 特に, (a, b)⊆BN,M なる開
区間(a, b) が取れる. f は(a, b) 上でリプシッツ連続であることを示す.”
(引用終り)

で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
で、R−BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）

で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね〜、いまいち納得できないんだ（＾＾

被覆する方の集合のBN,Mは、もともと内点を持つ閉集合。それは、ベールのカテゴリ定理からすぐ出る
だが、それと、被覆される側の集合の性質とは無関係

但し、「S は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」の場合に限っては
S側も、「内点を持たない閉集合の高々可算和」でなければならないという強い縛りができる

が、”内点を持つ閉集合閉集合の高々可算和で被覆できる”と緩和するならば、
被覆されるS側は、なんの制約も受けないように思えてきたが（第一可算的空間などから（>>122））・・、どう？

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/204

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