[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/

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194: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/06(土) 12:24:44.27 ID:sJCr7ecA >>193 つづき １）（>>190 PDFより）”有理数の点で不連続, 無理数の点で、the set of all non-Liouville numbersで微分可能、the set of Liouville numbersで微分不可（勿論リプシッツ連続ではないが連続）となるf : R → R が存在する”は正しい ２）これは”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”の別証明になっている ３）ところで、スレ主は頭が悪いので、定理1.7を場合分けして、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”けれども、R−Bf がR中で稠密な場合を考える。 ４）これはQを想定した場合。この場合は、「f : R → R は存在しない！」が、定理1.7の直接の帰結である。 ５）R−Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する 　ａ）R−Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる） 　ｂ）R−Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊） 　ｃ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分 　ｄ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊） （注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝ +∞を満たすこと） ６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない ７）で、系1.8が正しいからといって、定理1.7が正しいことの証明の代用にはならない。だから、系1.8を出発点に論じるのは如何なものかという気がするよ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/194

195: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/06(土) 12:48:01.93 ID:sJCr7ecA >>194 訂正 ６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）のみが、既存の別証明がある。しかし、ｂ）からｄ）の３ケースは、既存の証明は見つかっていない 　↓ ６）系1.8は、定理1.7中の上記ａ）のみ。ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない ＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).” http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/195

269: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 16:48:13.57 ID:KgoytC9i >>268 つづき だから、定理1.7は、二つに分けて １．R−Bfが稠密でなく、Bfがある開区間(a, b) を含む場合 ２．R−Bfが稠密で、Bfが全く開区間(a, b) を含まない場合 とすべき １．の場合、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である．”は自明。ほとんど、証明の必要もない ２．の場合、「非可算無限の集合E：”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、存在することになるので、そのようなｆは存在しえない」のような方向を目指すべき ２．の場合をさらに細分化する（>>194を一部修正） R−Bf がR中で稠密な場合を更に、４つに細分する 　ａ）R−Bfが不連続、Bfが可微分（これが系1.8に当たる） 　ｂ）R−Bfが不連続、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊） 　ｃ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが可微分 　ｄ）R−Bfが一般の不リプシッツ連続（除く不連続）＊）、Bfが一般のリプシッツ連続（除く可微分）＊） （注＊）一般のリプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞を満たすこと、一般の不リプシッツ連続とはlim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜＝ +∞を満たすこと） 　系1.8は、定理1.7中の上記ａ）の場合。ｂ）は下記。よって、ａ）ｂ）のみが、既存の別証明がある＊）。しかし、ｃ）ｄ）の２ケースは、既存の証明は見つかっていない ＊）ｂ）は、（>>189）H. M. Sengupta and B. K. Lahiriの結果より ”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”が成り立つことが分っている 　繰返すが、ｃ）ｄ）の２ケースで、有理数Qを想定して、R−Bf がR中で稠密かつ可算濃度の集合の場合に、ケースｃ）ｄ）のような関数f : R → Rが存在するか否か 　そこが、まだ不明。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/269

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