[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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127(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:30:53.39 ID:fcJ2W/Es(1/8) AAS
>>123-124
「ぷふ」さんと、「件の定理は無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導いていますよ」と書いた人とが、
同一人物か？ 衝撃の事実だな〜！（＾＾
あなたは、前スレ >>571のID:84+rbTu3さんですね。８つレス付けてくれた（＾＾
黄色い救急車ならぬ黄金の救急車で、黄色いクスリを処方してくれましたね。
どうもありがとう。あのクスリで、悪いなりに私の頭がかなりすっきりしましたよ（＾＾
つづく
128(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:32:15.26 ID:fcJ2W/Es(2/8) AAS
>>127 つづき
>R＼Qはどうするのですか？
>使えない状況で定理を使った気になってはいけません
そこは、調べて、分りました！（＾＾
Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
R ＼ Qについての、(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)は
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
（資料は後述ご参照）
これは、実に面白いですね
面白すぎて、理解がついていかないが・・。
まあ、無限集合で、自身と同じ濃度の真部分集合を含むというヒルベルトのホテルのパラドックスを思わせますね（＾＾
まあ、有理点の集合Qと無理点R ＼ Qが、互いに稠密に入り交じっているからですね・・（＾＾
（参考）
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/
龍谷大学> 理工学部> 数理情報学科> 国府> > 11 回め 講義（集合・位相）☆ 配布: 2009-07-01Thu 更新: 2009-07-02
11.4.2
1 次元ユークリッド空間R1 で, 有理数全体Q, 無理数全体R \ Q の内部, 外部, 境界,閉包を求めよう.
講義（集合・位相）☆ 11 回めの問題(2009-07-01Thu)
(^i：内部、^e：外部、^f：境界、^a：閉包)
Q^i = Φ, Q^e = Φ, Q^f = R, Q^a = R.
(R ＼ Q)^i = Φ, (R ＼ Q)^e =Φ, (R ＼ Q)^f = R, (R ＼ Q)^a = R.
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/
Welcome to Hiroe's Home Page! Hiroe Oka professor Department of Applied Mathematics and Informatics Faculty of Science and Technology Ryukoku University
（龍谷大 岡先生？）
http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/teaching.html
講義(2009年度)
学部 集合と位相および・演習II 2年前期 http://www.math.ryukoku.ac.jp/~oka/edu2/st/index.html
つづく
129(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:33:20.09 ID:fcJ2W/Es(3/8) AAS
>>128 つづき
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11168182641
(抜粋)
katakana121225さん2016/12/19 yahoo
1次元のユークリッド空間Rでの有理数Qの内部、外部、境界はどうなるのですか？
解説も出来ればお願いします
ベストアンサーに選ばれた回答 clicky_clicky_clicky_clickyさん 2016/12/19
一般に, 内点・外点・境界点の定義 (近傍による定義) から, 距離空間 X の点は X の部分集合 A にたいして内点または外点または境界点のいずれかです. (※排他的 : 同時に2種類以上は無い)
有理数 Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 無理数の点, すなわち, 有理数 Q の補集合 R-Q の点が含まれます. したがって, Q の任意の点は Q の境界点 (同時に R-Q の境界点) です.
無理数 R-Q の任意の点の近傍 (ε-近傍) には, 有理数の点, すなわち, 無理数の補集合 Q の点が含まれます. したがって, 無理数 R-Q の任意の点は R-Q の境界点 (同時に Q の境界点) です.
以上, 先に述べたとおり, R=Q∪(R-Q) の任意の点は, Q の境界点であり, (排他的な内点・外点・境界点の定義から) Q の内点も外点も存在しません. すなわち
Q の内部 (内点全体) = 空集合
Q の外部 (外点全体) = 空集合
Q の境界 (境界点全体) = R
(引用終り)
つづく
130(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:34:15.76 ID:fcJ2W/Es(4/8) AAS
>>129 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A2%83%E7%95%8C_(%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96)
境界 (位相空間論)
(抜粋)
一般位相において位相空間 X の部分集合 S の境界（きょうかい、英語: boundary, frontier）とは、S の中からも外からも近づくことのできる点の全体の成す X の部分集合のことである。
もうすこし形式的に言えば、S の触点（閉包に属する点）のうち、S の内点（開核に属する点）ではないものの全体の成す集合のことである。S の境界に属する点のことを、S の境界点(boundary point) と呼ぶ。S が境界を持たない (boundaryless) とは、S が自身の境界を包含しないこと、あるいは同じことだが境界点がひとつも S に属さないことをいう[1]。
集合 S の境界を表すのに、bd(S), fr(S), ∂S[2] のような記法がしばしば用いられる。代数的位相幾何学における境界 (boundary) の概念との区別のため、ここでいう境界に対応する語として "boundary" の代わりに "frontier" を用いることがある（たとえば松坂『集合・位相入門』[3]）。
集合 S の境界の連結成分のことを、S の境界成分 (boundary component) という。
例
実数直線 R に通常の位相（つまり、開区間を開基とする位相）を考えると、たとえば
・∂Q = R
・∂(Q ∩ [0,1]) = [0,1]
などが成立する。最後のふたつの例は、内点を持たない稠密集合の境界はその集合の閉包に一致するという一般的な事実を説明するものになっている。
有理数全体の集合に通常の位相（R の部分位相空間としての位相）を考えた位相空間の中では、a が無理数であるときの区間 (?∞, a) の境界は空集合である。
集合の境界というのは位相的な概念であり、集合に入れる位相を変えれば（同じ集合であっても）何が境界であるかが変わってくる。
つづく
131(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:34:49.94 ID:fcJ2W/Es(5/8) AAS
>>130 つづき
性質
・集合の境界は閉である。
・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
これらのことから以下のようなことが従う。
・p が集合の境界点となる必要十分条件は、p の任意の近傍が少なくとも一つその集合の点を含みかつ少なくとも一つその集合の補集合の点を含むことである。
・集合が閉であることの必要十分条件は、その集合が自身の境界を包含することであり、開であることの必要十分条件はその集合が自身の境界と交わりを持たないことである。
・集合の閉包はその集合自身とその境界との和に等しい：Cl(S) = S ∪ ∂S。
・集合の境界が空であることの必要十分条件は、その集合が開かつ閉 (clopen) であることである。
・Rn における任意の閉集合は、適当な集合の境界になっている。
S の各点は内点であるか境界点であるかのいずれかである。また、S の各点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。同様に、S の各境界点は集積点であるか孤立点であるかのいずれかである。Rnの部分集合の孤立点は常に境界点である。
つづく
132: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:35:57.77 ID:fcJ2W/Es(6/8) AAS
>>131 つづき
境界の境界
如何なる集合 S についても ∂S ⊇ ∂∂S が成立する。ここで等号は S の境界が内点を持たないとき、かつそのときに限り成り立つ。
これは S が開または閉であるときにも正しい。任意の集合の境界が閉となることから、∂∂S = ∂∂∂S は如何なる集合 S についても成り立つ。したがって、境界をとる操作は弱い意味で冪等である。特に、集合の境界の境界はふつう空でない。
多様体や単体および単体的複体の境界に関する議論では、しばしば境界の境界はつねに空であるという主張を目にすることもあるだろう。
実際、特異ホモロジーの構成はこの事実に決定的に基づいている。この明らかな不整合に対する説明としては、この項目の主題となる位相的な境界と、多様体や単体的複体の境界とは少し異なる概念であるからということになる。
例えば閉円板をそれ自身位相空間とみなしたときの位相的な境界は空集合だが、円板自身を多様体と見なしたときの境界は円板自身の円周である。
(引用終り)
以上
133: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 21:39:37.82 ID:fcJ2W/Es(7/8) AAS
>>131 補足
>・集合の境界は補集合の境界に等しい： ∂S = ∂(Sc)。
Qの境界がR。
故に、Qの補集合のR ＼ Qの境界も、R。
だが、Rは、全体集合でもある！（＾＾
134(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/03(水) 22:51:08.14 ID:fcJ2W/Es(8/8) AAS
>>124
甘えて悪いが、もう一つ二つ黄色いクスリ（あなたの見解の開陳で結構だが）を
処方してもらえるとありがたい（＾＾
１）
定理1.7 (422 に書いた定理)で、BfとR−Bfで、
前者Bfが無理数（R ＼ Q）を想定した集合で、後者R−Bfが有理数（Q）を想定した集合だ
もし、R−Bfが有理数（Q）のように、R中に稠密に分散していたら
例え、内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるとして（実際Qがそうだが）も
補集合のBfは、ベールのカテゴリーで２類だが、それは内点を持たず、従って、Bfに区間(a, b)をとれば、そこにR−Bfが含まれる
（ちょうど、QとR ＼ Qとの関係に同じ）
つまり、Bf内には、定理1.7の結論のBfの点のみから成る区間(a, b)は取れないことになる
２）
上記とほぼ同じだが、従来のRuler Functionやトマエ関数とその類似の研究で、
”f(x) = 0 if x is irrational, f(x) = 1/q^2 if x = p/q where p and q are relatively prime integers with q > 0.”(n > 2)
のとき、nが大きくなると、ほとんどの無理数で微分可能になるという。
ただ、リュービル数だかけが、リュービル数では微分不可能で残るという
リュービル数もまた、R中で稠密だという
で、当たり前だが、Ruler Functionは、Qでは不連続ゆえ、これら微分可能な点の集合は、内点を持ち得ない。（そして境界がRだろう）
この事実と、定理1.7の証明での、内点を持つこととか、Bfの点のみから成る区間(a, b)が取れるということが、いかにも上記と不整合だと思う次第
（ある一箇所、区間(a, b)が取れるということは、それはどこにでも、いたるところ区間(a, b)が取れるということにもなるし・・）
上記の１）２）などが、自分の中ですっきり納得できない限り、定理1.7 は、手放しでは首肯できない
なので、いま、いろいろ、先行研究との対比検討をしているところです
なにか、ヒントなり、あなたの見解の開陳をしてもらえると、ありがたい（＾＾
なお、念押しだが、あなたは、定理1.7が成立すると思っているのですね？
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