現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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211: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 10:39:04.12 ID:2l42E8SE

>>210 つづき

「正確性に疑問」とあるが、和文では、冒頭説明と図が不一致（文「位相空間 C から X への連続全射 p」だが、図はP：Y→X）。この点、英文はしっかりしている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93
被覆空間
(抜粋)
？原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも 5 個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な語句に改訳できる方を求めています。

数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。

被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）[1]。

目次
1 定義
1.1 他の定義
2 具体例
3 性質
3.1 共通な局所的性質
3.2 ファイバーの準同型
3.3 持ち上げ
3.4 同値性
3.5 多様体の被覆
4 普遍被覆
5 G-被覆
6 被覆変換
7 モノドロミー作用
8 分類空間や群コホモロジーとの関係
9 一般化

定義
位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
(引用終り)

英 https://en.wikipedia.org/wiki/Covering_space Covering space

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/211

213: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 11:59:51.84 ID:2l42E8SE

>>207 参考補足
>つまりは、R内に稠密分散するQは、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる
>同様に、RからQを除いたR ＼ Qも、内部も外部もΦ（空）で、境界と閉包はRそのものになる”
>
>外しているかも知れないが、これを、日常の例えで言えば
>光学顕微鏡の分解能では、原子レベルの入り組んだ構造は、見えないってことかな
>
>ε近傍という内点を持つ分解能で、内点を持たない稠密集合の境界を探しても、
>ε近傍の分解能ではある集合Sの点とその補集合S￣の点と、常に両方が見える

この見方（内部、外部、と境界）では、Qも無理数（R ＼ Q）も、区別がつかない
そこで、ハウスドルフ次元などの、別の見方が必要になる（下記）

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu13.htm
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/3269_t8.htm
６０３．実数のハウスドルフ次元 ikuro_kotaro (13/05/24)
(抜粋)
【１】実数のｍ進展開の分布とハウスドルフ次元

０と１の間の数のうち，ほとんどの実数はｍ進展開したとき，各桁に現れる数字の出現確率が均等であることが知られています（正規数）．

また，Ｆ（ｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1）を［０，１）上の実数で，各桁に現れる数字（０〜ｍー１）の出現確率がｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1であるような実数の集合とすると，Ｆのハウスドルフ次元ｄｉｍＦは

ｄｉｍＦ＝ーΣｐkｌｏｇｐk／ｌｏｇｍ

で定義されます．正規数の集合Ｆ（１／ｍ，・・・，１／ｍ）のルベーグ測度１であり，したがって，その次元も１となります．

３分割カントル集合は最も有名なフラクタル集合の１例です．３分割カントル集合は３進展開の各桁に１の現れない数の集合Ｆ（１／２，０，１／２）ですが，そのハウスドルフ次元は

ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

となります．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/213

216: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 12:04:53.46 ID:2l42E8SE

>>215 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%89%E3%83%AB%E3%83%95%E6%AC%A1%E5%85%83
(抜粋)
ハウスドルフ次元
フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、ハウスドルフ測度が有限な値をとり消えていないという条件に適合する次元の概念の非整数値をとる一般化である。
すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 0、線分のハウスドルフ次元は 1、正方形のハウスドルフ次元は 2、立方体のハウスドルフ次元は 3 である。
つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。
しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。
大幅な技術的進展がエイブラム・サモイロヴィッチ・ベシコヴィッチによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ?ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。

例
・可算集合のハウスドルフ次元は 0
・ユークリッド空間 Rn のハウスドルフ次元は n、円 S1 のハウスドルフ次元は1
・フラクタル図形はルベーグ被覆次元を超える。例えば、カントール集合のルベーグ被覆次元は 0 であるが、ハウスドルフ次元は log(2)/log(3) ? 0.63[4]
・シェルピンスキーのギャスケットのハウスドルフ次元は log(3)/log(2) ? 1.58
・ペアノ曲線のような空間充填曲線やシェルピンスキー曲線は充填される空間と同じハウスドルフ次元を持つ
・2次元以上の空間におけるブラウン運動のハウスドルフ次元はほとんど確実に（つまり確率 1 で）2 である[5]

関連項目
・ハウスドルフ次元別フラクタルの一覧: 決定論的フラクタル、確率フラクタル、自然フラクタル…
・アスワド次元: ハウスドルフ次元同様に（球体被覆を用いて）定義されたフラクタル次元
・内在次元
・パッキング次元: ハウスドルフ次元と双対的に、球体充填の定める内測度から定義されたフラクタル次元
・フラクタル次元

(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/216

219: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 14:08:43.48 ID:2l42E8SE

>>204 戻る
>で、「特に, (a, b)⊆BN,M なる開区間(a, b) が取れる」の部分
>開区間(a, b) が取れるのは、被覆する側の集合のBN,Mだろ？
>で、R−BfがQのようにR中に稠密に分散している場合を考えると、Bf自身は内点を持たないし、区間(a, b) も取れないことは自明（参考>>128より）
>
>で、被覆する方の集合のBN,Mにおいて、それが内点を持ち、そこに区間(a, b) が取れるとしても、
>”それにより被覆される側のBfが同じ性質を持ち、区間(a, b) が取れる”とする証明がね〜、いまいち納得できないんだ（＾＾

(>>212より)"代数トポロジーでの被覆には、被覆する空間と被覆される側の空間との間に、連続全射 p : C → X の存在を条件としている（>>211）
しかし、単に 「集合の被覆」では、”和集合が集合全体となるような部分集合の集合”というだけで、被覆する集合と被覆される側の集合との間には、連続全射は要求されていない
そこが大きな違いだろうね"

この意識がすっかり抜けているように思う
被覆する方の集合BN,Mで証明されれば、即被覆される側の集合Bfでの証明が終わっていると勘違いしているのでは？

それと、被覆について、”稠密（dense）”の意識が希薄だと思う

例えば、定理1.7の証明中で
「補題1:5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
よって, 確かに
Bf ⊆ ∪N,M>=1 BN,M である.
(1) と合わせて, R = Bf ∪ (R−Bf ) ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) と
なる. すなわち,
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M ) ∪ (∪iAi) ・・・(2)
となる.」

としているけれども、Bfを無理数（R＼Q）、R−Bfを有理数（Q）と考えて
Bf 無理数を、（内点を持つ）閉集合で被覆できているならば
R ⊆ (∪N,M>=1 BN,M )    (2’)
だけで終わっている。 ”∪ (∪iAi) ”の部分は、蛇足では？

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/219

222: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 14:49:54.35 ID:2l42E8SE

>>221 つづき

新バージョン（2017/10/02版）についての指摘および誤植（最終更新日：2017/10/16）
３章
・p.30 1行目：　「定義を与える」の後にピリオドが抜けている（ピリオドがなくても奇跡的に正しい文として成立しているが）
・p.35 1行目：　命題3.4.8「の」証明は

５章
・p.55 2行目：　それらの違い「を」通して判断する

７章
・p.81 -8行目：　f2(x)= を f2(x):= にしたほうが適切か。
・p.81 -2行目：　「点列」を「数列」にしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.2：　「点列」を「数列」にしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.3 証明 3行目： 二つ目のδは1/nにしたほうが適切か。
・p.85 練習7.5.4 証明 1行目：　誤：M　正：ε
・p.86 2行目：　誤：M　正：n
・p.86 練習7.5.5 証明 3行目：　誤：M　正：n

８章
・p.91 8.4節 6行目：　誤：|b-f(x)|　正：|f(a)-f(x)|

１０章
・p.114 -5行目：　f,g はそれぞれ　f1, f2 の間違い（２ヵ所あり）

１５章
・p.175 -1行目：　f(x)=x^2 は f(x):=x^2 のほうが親切ではないか.
・p.178 ４つめの中央揃えの式：　誤：(1/b)　正：(1/b)^h
・p,178 命題15.4.2：　(3)が抜けている
・p.179 命題15.4.3：　(3)が抜けている　cosとtanに ^-1 が抜けている
・p.181 定理15.6.3証明 -3行目：　右辺の第1項の分母はg(x)
・p.182 -5行目：　g(x)= は g(x):= のほうが親切ではないか.
・p.182 -1行目：　誤：b　正：a
・p.183 例15.7.4 cos x の冪級数展開の「…」の間はーではなく＋
・p.183 -2行目：　誤：(0,1)^3　正：(0.1)^3
・p.184 ３つめの中央揃えの式：　6!の分母のiは左側に移動させたほうがよいのではないか
・p.185 2行目：　誤：A=　正：Ai=
・p.185 6行目：　s(f,?) 「と」しよう
・p.185 -7行目：　差「し」つえない
・p.186 3, 4行目：　それぞ「れ」
・p.186 命題15.9.4証明：　備考2.6.3は用いない（関係ない）。
・p.187 1行目：　誤：x　正：z

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/222

224: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 15:03:48.24 ID:2l42E8SE

>>216 追加

http://www.math.shimane-u.ac.jp/~tosihiro/agora.pdf
図形の大きさや複雑さを測る 公開講座数学アゴラ 中西敏浩 島根大 2001年12月
(抜粋)
ハウスドルフ(Hausdorff)次元というのは図形の複雑さを測る一つの量です。

マンデルブロート集合の境
界はすごく複雑な形状を呈しているので、そのハウスドルフ次元は2 ではないかと予想され、それを証明す
ることが長年の懸案だったのですが、1998年に宍倉光広氏(現・広島大学)によってついに解かれました。
定理. マンデルブロート集合の境界のハウスドルフ次元は2 である。
さらに宍倉氏は、マンデルブロート集合の境界上にあるほとんどの点c についてfc(z) = z^2 + c の
ジュリア集合のハウスドルフ次元が2 であることも示しています。
　面積を測るという問題に戻ると、マンデルブロート集合の境界の面積が0 であるかどうかはまだわ
かっていないようです。また特別な場合を除いて有理関数のジュリア集合の面積が(もしそれがリーマン球
面と一致していなければ）0 であるかどうかという問題も未解決のままです。

数値計算で入力されるのはその近似値1.7320508... です。そ
して反復合成の際に入力するデータも実際の値の近似値に過ぎません。だから反復合成列が、初期値や途中
で入力されるデータについて非安定的ならば、数値実験の結果への信頼度は低くなります。非安定的な点の
存在は避けられないとしても、それらがなす集合はほとんど無視できるぐらい非常に小さいものであってほ
しいという希望があります。なぜなら、もしそうなら数多くの初期条件の下での実験を繰り返せば、それら
の結果のほとんどのものはある程度信頼できるものとなるからです。ジュリア集合の面積が0 であること
をしめすことに意義がこうした点にあります。
複素関数の反復合成の性質を研究する分野を「複素力学系」と呼ぶということでしたが、ここでは有理
関数の場合しか扱いませんでした。現在ではもっと広いクラスの関数（（多変数も含めて）超越整関数や有
理形関数）の複素力学系が研究されています。本格的に勉強したい方のために[9] をあげておきます。

(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/224

245: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 20:46:08.89 ID:2l42E8SE

>>238
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>いっておくけど、系 1.8 の結果は
>有理数の点で不連続, 無理数の点で一様連続となるf : R → R は存在しない
>まで拡張出来る。

ああ、下記だな”g fails to satisfy・・even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.”＆
”Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”

繰返すが、
”any specified pointwise modulus of continuity condition” ＆ ”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”
だから（特に後者Dini微分）、どこかの無理数の点で一様連続も破綻するだろうな

（>>40より）http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points.
In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)

（>>41より）
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/245

253: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/07(日) 22:39:08.33 ID:2l42E8SE

>>252
>一次式の係数を無理数にとったら値が有理数にならないことがある、ということのどこが面白いの？

数理女子(>>217)にならって言えば
"有理点が無い場合
実平面の中には有理点がびっしりと詰まっているので、有理点を避けて通る直線なんて無いような気がしてしまうかもしれません。しかし、有理点を持たない直線（１次関数）も、実はいっぱい存在するのです。"
ってこと

なお、下記「この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された」みたいな話は、数学では至る所ある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
ファルティングスの定理
(抜粋)
数論では、モーデル予想(Mordell conjecture)は、Mordell (1922) で提出された予想で、有理数体 Q 上に定義された 1 よりも大きな種数を持つ曲線は、有限個の有理点しか持たないであろうという予想である。
後日、この予想は Q を任意の数体へ置き換えた予想へ一般化された。この予想は Gerd Faltings (1983) により証明されたので、ファルティングスの定理(Faltings' theorem)として知られている。

目次
1 背景
2 証明
3 結論
4 一般化

背景
C を Q 上の種数 g の非特異代数曲線とすると、C の有理点の集合は次のように決定することができる。

g = 0 の場合：全く点が存在しないか、もしくは無限個： C は円錐の断面（英語版）である。
g = 1 の場合：全く点が存在しないか、もしくは C が楕円曲線で、有理点が有限生成アーベル群である。（モーデル定理(Mordell's Theorem)は、後日、モーデル・ヴェイユの定理(Mordell?Weil theorem)へ一般化された。さらにメイザーの捩れ定理[1]は捩れ部分群の構造を制限している。）
g > 1 の場合：モーデル予想、現在はファルティングスの定理である。C は有限個の有理点しか持たない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/253

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