現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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14: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/27(水) 23:50:52.65 ID:hLkm2n+q

前スレ>>822
＞だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、
＞貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ）

息をするように間違えるゴミクズ。一体どうやって張り付けるつもりだね？

もし張り付けによって反例を作りたいのなら、x＝0 の近傍が「離散的に分布する」ような貼り付けでは意味が無いんだぞ？
なぜなら、それ以外の開区間を取れば、そこではリプシッツ連続になるからだ。従って、張り付けによって反例を作りたいのなら、
x＝0 の近傍が「 R の中に稠密に分布する」ような貼り付けを考えなければならないんだぞ？

では、一例として、関数 f(x) を有理数 p だけ平行移動した f(x＋p) という関数を考え、これらを単純に足し算した

g(x) ＝ Σ[p∈Q] f(x＋p)

という関数を考えてみよう。この場合、"x＝0 の近傍" の挙動をする点が R の中に稠密に分布するように見えるが、
まず大前提として、上記のように定義した g は「ちゃんと各点で収束しているのか？」という問題が生じる。
もし収束してないなら、この g はそもそも well-defined でないことになるので失敗である。また、
仮に収束しているのだとしても、今度は

「 R−B_g は第一類集合になっているのか？」

という新たな問題が生じる。なぜなら、仮に収束するのだとして、その収束は、直観的には

「 "x＝0 の近傍" が少しずつズレた関数 f(x＋p) の値がひたすら打ち消し合ってギリギリ収束する」

というものであるため、当初考えていた「 x＝0 の近傍 」は、g のグラフにおいては影も形もなくなってしまい、
もはや g(x) がどの点で Ag(x)＜＋∞ や Ag(x)＝＋∞ を満たすのかが全く分からなくなってしまうからだ。
最悪の場合、「むしろ g のグラフは物凄くキレイな形になる」という可能性すらあり得るｗ

[続く]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/14

479: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/14(日) 14:17:41.65 ID:fNVDpqMq

>>477 補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
完備性
(抜粋)
数学における完備性（かんびせい、英: completeness）は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備（かんび、英: complete）でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。

・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。
・完備距離空間: 距離空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシー列が収束するときにいう。
・完備一様空間（英語版）: 一様空間が完備であるとは、その空間内の任意のコーシーネット（コーシー有向点族）が収束するときに言う。あるいは同じことだが、その空間内の任意のコーシーフィルターが収束するときに言う。
・完備測度空間: 測度空間が完備であるとは、その任意の零集合が可測であるときにいう。
・環の完備化: 可換代数学において（イデアルの冪によって定義される位相を考えるとき）イデアルによる可換環の完備化の概念が定義される。
・より一般に、任意の位相群を開部分群の減少列において完備化することができる。
・完備統計量（英語版）: 統計学において統計量が完備であるとは、期待値が0となる不偏評価子が許されないことを言う
・完備圏（英語版）: 圏論において圏 C が完備であるとは、小さい圏から C への任意の図式が極限を持つときに言う。双対的に、そのような図式が余極限を持つとき余完備（英語版）であるという
・順序集合論やそれに関連する束論や領域理論のような分野でいう完備性（英語版）は、一般にある種の順序集合における上限や下限の存在に言及するものである。この意味での完備性を持つ概念として完備ブール代数（英語版）、完備束、完備半順序集合 (cpo) などは著しい。
・完備代数多様体（英語版）: 代数幾何学において代数多様体が完備であるとは、それがある種のコンパクト性に類似の性質を満足することを言う。

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/479

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