[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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23(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/28(木) 15:39:43.54 ID:DMAwdmu2(1/2) AAS
おっちゃんです。
>>23
>第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
>場合分けが必要だろう？
場合分けをするのは証明においてそれをしたことで結論を導けるときで、
背理法の枠組みの証明で場合分けをするには場合分けの議論のどこかで
R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来る
という仮定の条件を完全に使い切らなければいけない。
R−B_f は第一類集合と仮定されていて、第一類集合にはR上で稠密なときと稠密でないときとがあるので、
場合分けをして定理を示すには、
R−B_f はR上で稠密な第一類集合という仮定をして、fが或る開区間の上でリプシッツ連続なことを示し、
その上、R−B_f はR上で稠密ではない第一類集合という仮定をして、fが或る開区間の上でリプシッツ連続なことを示さなければいけなくなる。
1つの定理を示すにあたり、結論が同じのダブル定理を示すことになる。
174: １３２人目の素数さん [] 2018/01/04(木) 21:28:28.54 ID:UP3dM11A(8/9) AAS
＞教官：・・・。・・・５CHでは引用文献として使えないよ（＾＾
誰が２ｃｈを引用すると？
お前は国語から
281(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/08(月) 21:10:58.54 ID:KgoytC9i(12/15) AAS
>>280 つづき
ところで、下記は、指示関数そのものではないが、R中の部分集合Bfとその補集合R−Bfに分けて、関数値を決めていると考えることができる
(>>268)
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
の記載より(抜粋)
2. MODIFIED THOMAE FUNCTION.
Let (ai) be a sequence of reals decreasing to zero. Define the modified Thomae
function with respect to (ai) as follows:
T(ai)(x)
= 0 if x ∈ R ＼ Q,
= an if x = m/n where m and n are coprime,
= 1 if x = 0.
Since limn an = 0, T(an) is continuous on the irrationals. The faster the sequence (ai)
tends to zero, the larger the set of irrationals on which T(ai) will be differentiable.
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n^2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.
(引用終り)
つづく
494: １３２人目の素数さん [sage] 2018/01/14(日) 17:45:57.54 ID:OGysNULO(6/9) AAS
>>490
>>492の訂正：
数論?、?→ 数論1、2
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