現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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50: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/29(金) 01:04:58.18 ID:gcYWyS10

>>44
＞というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
＞（　上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）

その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか？まず前提として、

状況Ａ：
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の　全　体　で　リプシッツ連続である」という条件は導けない
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

という「状況Ａ」があるわけだ。すると、次のようになる。

(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Ａにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか？残念ながら、状況Ａを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか？
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか？
残念ながら、「状況Ａ」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。

……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Ａがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか？
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/50

74: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/01(月) 17:12:44.18 ID:dCRrvhl7

>>73 つづき

If condition (i) in Theorem 1.1.4 is strengthened to everywhere, the following corollary results.

Corollary 1.1.8. Let J be a σ-ideal which contains no nonempty open set.
A function f : R → R is continuous everywhere if, and only if, it is J -continuous everywhere.

Proof. If f is continuous, then it is clearly J -continuous. So, suppose f is
J -continuous everywhere, x0 ∈ R and ε > 0. Using Proposition 1.1.1(ii), there
must be an ordinary open neighborhood G0 of x0 such that
F0 = {x ∈ G0 : |f(x) − f(x0)| > ε} ∈ J.
Suppose there is an x1 ∈ F0. Choose δ > 0 such that
δ < |f(x1) − f(x0)| − ε.
As before, there exists an ordinary open neighborhood G1 ⊂ G0 of x1 such that
F1 = {x ∈ G1 : |f(x1) − f(x)| > δ} ∈ J.
It is clear that G1 ⊂ F0 ∪ F1 ∈ J, because |f(x1) − f(x0)| > ε + δ. But, this
implies J contains a nonempty open set, which contradicts the condition placed
on J in the statement of the corollary. This contradiction shows that F0 = Φ.
The preceding corollary demonstrates that global J -continuity may not be a
very useful concept. In particular, it is worthwhile noting for future reference
that global I-continuity and global N-continuity are no different than ordinary continuity.

(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/74

498: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/14(日) 17:59:40.18 ID:fNVDpqMq

>>495 追加

https://www.amazon.co.jp/dp/4535786437
類体論へ至る道―初等数論からの代数入門 単行本 ? 2010/2/1
足立 恒雄  (著)
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
まげ店長
5つ星のうち5.0どうして色んな説明の仕方があるのでしょうか...
2014年4月25日
形式: 単行本
この本を買った頃は、整数論もきちんと始めていない時代だったので（今も独学ですが）「類体論」の
事は何も分からずにただ単に高木貞治の学問分野だというとても不純な動機だったような気もします。
群論をやりながら、ある日ふと手に取ったのは「高木貞治 類体論への旅 (双書―大数学者の数学)」でした。
旅という癖に相当に難儀な本で、特にイデアルの所で完全に行き詰まってしまいました...
群論の本とか読んでも、イデアルの説明はとても抽象的でちっとも分からないんです。
特に2次体の説明を探し回りましたがこれは「数論入門―証明を理解しながら学べる (ブルーバックス)」
の最終章でカバーされてました。しかし肝心のイデアルの説明は無し。
もう少し総括的で分かりやすい本は無いかと、ふと書庫に置いてあった本書を手にとってみると
不思議な程に分かりやすい本ですね...　特にイデアルの説明には痺れました。
（素イデアルと極大イデアルのところは秀逸です）
完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。
コメント| 6人のお客様がこれが役に立ったと考えています.
(引用終り)

追記
余談だが、”完全独学なのでまだ前半戦を模索中ですが、このペースなら最後まで行けそうな安心感があります。
あと何年かかるか分かりませんが、ひと通り最後まで見届ける覚悟で向き合っています。”みたいな読み方は、止めた方が良い
一月以内（できれば１週間くらい）に、ざっと読んで、あと、読む価値のある名著と思えば、繰り返し読むとかの方が良いだろう
（実際、「あと何年かかるか分かりません」的読み方では、学生なら卒業できないし、院生なら論文書けない）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/498

507: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2018/01/14(日) 19:42:56.18 ID:fNVDpqMq

>>505 つづき
https://www.iwanami.co.jp/book/b260913.html
類体論と非可換類体論 岩波
フェルマーの最終定理・佐藤−テイト予想解決への道
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく丁寧に説明する．

著者 加藤　和也 著
シリーズ 類体論と非可換類体論
刊行日 2009/01/29

この本の内容
目次
著者略歴
素数の演じるさまざまな実例を通して，類体論や非可換類体論とは何かをわかりやすく説明する．
さらに非可換類体論の進展がなぜフェルマーの最終定理や佐藤−テイト予想解決に結びつくのかについて，その背景を丁寧に解説する．類体論から非可換類体論へと大きく転換しようとしている現代整数論の生きた姿を概観できる．

■編集部からのメッセージ

編集という仕事に携わって，二十年以上になりますが，中でも第一級といえる作品です．むろん，著者は作家ではありませんし，流麗な文章を書かれたというわけではありません．しかしながら，著者の素数に対する想い，そして素数のもつ奥深い意味，またその不思議さをなんとか，誰かにわかってもらいたいという気持ちがひしひしと伝わってきます．

幸運にも，前著『数論１』も担当させていただきました．そこでも，著者は従来の岩波講座らしからぬ解説をされ，整数論の紹介に巧みな工夫をされました．本書は，それをはるかに凌駕します．
前著は「フェルマーの最終定理」が解決されたことに触発されての解説であったのに対し，本書は，それを上回る「佐藤-テイト予想」が解決されたことで，よりはっきりと，素数とは何か，整数論の未来はどうなるのかが，著者には見えたからではないかと想像しています．

著者自ら，「類体論と非可換類体論」は《整数論の華》であると主張します．それを象徴するのが，フェルマーの最終定理および佐藤-テイト予想の解決だといいます．そのあたりをゆっくりと自分で計算しながら，味わいつつ読み進めていける本書は素晴らしい本であると確信します．
　ただひとつお断りしなければならないのは，本書は全４巻シリーズですが，作品の性格上，続巻はすぐには出版できません．著者には鋭意準備していただいていますが，第２巻は，半年くらいはお待ちくださるようお願い申し上げます．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/507

641: １３２人目の素数さん [sage] 2018/01/21(日) 01:46:18.18 ID:hREHM7MH

くどいようだが、以下では2つの例によって、
スレ主とかいうゴミクズの論法のおかしさを改めて指摘しておく。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理A：
f：R→R が各点で微分可能ならば、f は各点で連続である。

スレ主：
「 f：R→R は各点で微分可能だが、f は各点で不連続である 」… (*)
という条件を満たす f を何でもいいから持ってくれば、上記の定理に矛盾する。
よって、上記の定理は、命題の立て方に矛盾を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理B：
R−B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。

スレ主：
「 R−B_f は第一類集合であり、なおかつ、R−B_f は R の中に稠密に分布する」…(**)
という条件を満たす f を何でもいいから持ってくれば、上記の定理に矛盾する。
よって、上記の定理は、命題の立て方に矛盾を含んでいる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――

この2つの例のうち、定理Aの方は、明らかにスレ主の主張が間違っていると分かる。
なぜなら、(*)が成り立つような f は存在しないからだ。
そして、存在しないことはどうやって分かるかというと、
定理Aの証明をきちんと読むことで分かるのである。
証明を読まず、逆張りをして(*)の方から攻めても無駄である。
しかし、そのような愚行に及んでいるのがスレ主である。キチガイ。

同じように、定理Bの方も、スレ主の主張は間違っている。
なぜなら、(**)が成り立つような f は存在しないからだ。
そして、存在しないことはどうやって分かるかというと、
定理Bの証明をきちんと読むことで分かるのである。
証明を読まず、逆張りをして(**)の方から攻めても無駄である。
しかし、そのような愚行に及んでいるのがスレ主である。キチガイ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/641

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