[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49 (658ﾚｽ)
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46: １３２人目の素数さん [] 2017/12/29(金) 00:15:47.15 ID:bDrChn34(1/2) AAS
忙しい、ゆっくりやろう
で4年間進歩が無いスレ主
未だにεδ論法さえ理解できず
159(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/04(木) 11:27:42.15 ID:UI9gVYwB(9/11) AAS
>>157
>ああ、何か危なっかしいサイトのようだから、ダウンロードは止めている。
じゃ、抜粋下記な
前スレ 489より
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の
上でリプシッツ連続である．
（以下証明の文言から）
f は(a, b) 上でリプシッツ連続である．”
”系1.8 有理数の点で不連続; 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
(引用終わり)
313(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/09(火) 21:03:00.15 ID:Xw3gWI4S(7/8) AAS
>>312 つづき
で、
”Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on the irrationals.
Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not differentiable.”
”As a corollary, no matter how quickly the sequence (ai) converges to zero (e.g., ai = 1/i^(i^i) ), there is always an uncountable dense subset on which T(ai ) is not differentiable.”
この論文の証明で論じているのは、Bf（無理数）に関係するB_N,Mではなく（∵つねに”0 on the irrationals”ですから、論じる必要もない）
Bf−R(有理数)に関する部分（”positive on the rationals ”）。
もっと言えば、Bf−R(有理数)側で、無理数ａに収束する閉区間 In+1 ｜ ”f (xn+1) >= |xn+1 ? x| ”∈ In+1 ですよ
f (xn+1)は、”positive on the rationals”側で、つまり、Bf−R(有理数)側
Bf−R(有理数)側のf (xn+1)が、早く減衰する場合でも、”uncountable dense subset”が、” not differentiable”
T（1/n^k）=1/n^k on the rationals, if x = m/n where m and n are coprime,
で、k<=2ではどこも微分不可、k > 2で、代数的数の集合で微分可、k=9でπなどほとんどの超越数で微分可。
但し、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
これらの議論中、Bf（無理数）での関数は、常に”0 on the irrationals”で、全く変化しないにも関わらず
指数ｋによって、Bf（無理数）側で、微分不可（各点リプシッツ連続でもない）から、至る所微分可になり、最後、リュービル数は、ずっと微分不可で残る。
これら、すべてBf−R(有理数)側の関数値ｆの変化が、Bf（無理数）側に影響を与えた結果ですよ
なので、論ずべきは、Bf−R(有理数)側の関数値ｆの変化であるべきでは？
以上
532: １３２人目の素数さん [] 2018/01/15(月) 20:11:01.15 ID:DOxxTJ02(2/3) AAS
＞但し、数学的説明はします
εδ（大学一年一学期）すら理解できないお前が何を説明するって？
618(3): １３２人目の素数さん [] 2018/01/20(土) 19:18:51.15 ID:XURtOrzK(1) AAS
やっぱり脇見恐怖症の人間には東大というか普通の大学自体無理なのでしょうか？
通信制の大学にするしかないですか？
625(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/20(土) 22:36:34.15 ID:gQefYikW(14/21) AAS
>>574 補足
https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture
Littlewood conjecture
(抜粋)
References
3 M. Einsiedler; A. Katok; E. Lindenstrauss (2006-09-01). "Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture". Annals of Mathematics. 164 (2): 513?560. arXiv:math.DS/0612721?Freely accessible. doi:10.4007/annals.2006.164.513. MR 2247967. Zbl 1109.22004.
(引用終り)
これ、arXiv:mathのリンクから下記に入ると、”Ann. of Math. (2) 164 (2006)”版が公開されているね〜（＾＾
https://arxiv.org/abs/math/0612721
https://arxiv.org/pdf/math/0612721.pdf
Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture
Manfred Einsiedler, Anatole Katok, Elon Lindenstrauss
(Submitted on 22 Dec 2006)
We classify the measures on SL (k,R)/SL (k,Z) which are invariant and ergodic under the action of the group A of positive diagonal matrices with positive entropy. We apply this to prove that the set of exceptions to Littlewood's conjecture has Hausdorff dimension zero.
Subjects: Dynamical Systems (math.DS); Number Theory (math.NT)
Journal reference: Ann. of Math. (2) 164 (2006), no. 2, 513--560
(抜粋)
Part 2. Positive entropy and the set of exceptions to Littlewood’s Conjecture
7. Definitions
11. The set of exceptions to Littlewood’s Conjecture
The following well-known proposition
gives the reduction of Littlewood’s conjecture to the dynamical question which
we studied in Section 10; see also [24, §2] and [46, §30.3]. We include the proof
for completeness.
Proposition 11.1. The tuple (u, v) satisfies
(11.1) liminf n→∞ n ||nu|| ||nv|| = 0,
if and only if the orbit A+τu,v is unbounded where A+ is the semigroup
（略）
(引用終り)
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