現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49

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30(4): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/28(木) 16:57:35.12 ID:XpoKjxLL(6/6) AAS
[続き]

――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その３：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。

ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。

ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。

よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

上記の証明は、本質的には「その２」と全く同じであり、
――――――――――――――――――――――――――――
「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
――――――――――――――――――――――――――――

という原則に立ち返った証明である。ケース２ではやはり矛盾が起きているが、もはや

「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、～～～」

といった言い回しすらない。それもそもはず、その言い回しをするより前に、示したかった条件「 f は点 x で連続である」が
導けているからだ。上記の原則に立ち返った場合、「 Q 」が導けた時点で、それ以上何も言う必要がないので、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、～～～」という言い回しすらしていないのが、この証明である。

このような様々な理由により、スレ主の批判は全く批判になってないのである。

37(1): １３２人目の素数さん [] 2017/12/28(木) 18:33:05.12 ID:gWwxEo5F(3/3) AAS
fとf^-1で非対称なのはfが写像だからです
f(x)の値が複数になるのを許せばf^-1でも等式になりません
f(x)=±√x
でABは前のでどうでしょう

148(4): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/04(木) 10:03:30.12 ID:UI9gVYwB(4/11) AAS
>>146
リプシッツ連続な開区間（a, b）が取れると？
リウビル数の集合は、R中に稠密に存在するというけど？
（リウビル数では、リプシッツ連続は満たされない前提としてだが）

211(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/07(日) 10:39:04.12 ID:2l42E8SE(2/29) AAS
>>210 つづき

「正確性に疑問」とあるが、和文では、冒頭説明と図が不一致（文「位相空間 C から X への連続全射 p」だが、図はP：Y→X）。この点、英文はしっかりしている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A2%AB%E8%A6%86%E7%A9%BA%E9%96%93
被覆空間
(抜粋)
？原文と比べた結果、この記事には多数（少なくとも 5 個以上）の誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な語句に改訳できる方を求めています。

数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。

被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）[1]。

目次
1 定義
1.1 他の定義
2 具体例
3 性質
3.1 共通な局所的性質
3.2 ファイバーの準同型
3.3 持ち上げ
3.4 同値性
3.5 多様体の被覆
4 普遍被覆
5 G-被覆
6 被覆変換
7 モノドロミー作用
8 分類空間や群コホモロジーとの関係
9 一般化

定義
位相空間 C から X への連続全射 p : C → X が被覆写像であるとは、すべての点 x ∈ X に対し x の開近傍 U が存在し、逆像 p^?1(U) が共通部分をもたない C の開集合の和集合で表され、各開集合が p の制限写像により U と同相であることをいう[2]。このとき C を被覆空間、 X を底空間という。被覆写像や被覆空間のことを単に被覆と呼ぶこともある。
(引用終り)

英 https://en.wikipedia.org/wiki/Covering_space Covering space

359(2): １３２人目の素数さん [] 2018/01/10(水) 19:03:18.12 ID:N+Cjs8Xm(4/6) AAS
＞前スレでのNo.531以下の幾つかが、彼の数学的発言だな
＞主要なやりとりは、No.531～609辺りかな
＞それ以外にもあるかも知れないが・・

さすがに８０ものレス追う気せんわ
そんだけ紛糾するってことはその程度の内容なんだろう。
ぷよ　反論があるなら指摘されたことを踏まえて改めてうｐしてみ？　それともまた逃げる？

381(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 09:43:14.12 ID:clSPRjXH(1/11) AAS
どうもスレ主です。
いつものおっちゃんらしいね（＾＾

407(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/11(木) 20:23:20.12 ID:dLTvfhGd(11/18) AAS
>>405
べつに～（＾＾

あんたには、永遠に時枝は分らないのかもな・・・
まあ、確率過程論かランダム現象の数理の講義の最初の３回か、同テキストの最初の10ページほどを読めば、時枝不成立は分る

普通それで分るんだが・・、数学セミナーは、初心者も読むし・・
まあ、日本の学術風土として、ああいう有名数学者のバカ記事には、いちゃもんを付けないマイルドな（世間的には”おとな”とか）空気が日本にはある

だから、おれみたいな無頼が文句付けたわけよ
間違っているのは、あんたと時枝だよ

分ったら消えな（＾＾

521(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/15(月) 07:30:23.12 ID:xsWEHCro(1/7) AAS
>>519

証明成り立ってないでしょ？
それは、>>366-370に書いた通りで

「定理1.7 (422 に書いた定理)」は、有理数Ｑのように補集合R－Bf がＲ中に稠密分散しているときは、守備範囲外
つまり、有理数Ｑのように補集合R－Bf がＲ中に稠密分散しているときは、リプシッツ連続であるような開区間（a, b）は取れない（>>368）

だから、系1.8に対して、「定理1.7 (422 に書いた定理)」を使って、矛盾を導くことはできない
証明は、これからじっくり読む予定です

525(2): １３２人目の素数さん [] 2018/01/15(月) 08:45:03.12 ID:KdIP1Ead(2/7) AAS
>>521
>証明成り立ってないでしょ？
成り立っていますよ
BfがB_N,Mで被覆されますので
あるB_N,Mの中に開区間が存在し
その区間内でリプシッツ連続になります

560(7): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/17(水) 22:54:08.12 ID:GOOVgBct(5/5) AAS
>>556

>>543 補足

定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)

端的に、この定理と証明の問題の結論を言えば・・

１．「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」→「f は”Bf内の”ある開区間の上でリプシッツ連続である．」
　　という表現にすべきだったろう。”Bf内の”は、私には自明だが、証明を書いた人は、
　　表現がまずく”証明のために作った”B_N,M”なる被覆空間の合併集合”との区別を忘れてしまった。つまり、”B_N,M”と”Bf”とを混同してしまったのだ
２．集合の被覆（>>210ご参照）だから、被覆される集合と被覆する集合の性質とは、基本的には無関係。単に集合の大小関係にすぎない
　　つまり、「Bf ⊆ ∪B_N,M」以上のことはなにも言えないから、「∪B_N,M」側について何か証明しても、”Bf”には無関係だということに気付いていない
３．”稠密”についての意識が希薄。集合R－Bfは、R中の有理数Qを念頭に置いたものがだから、集合R－BfもR中に稠密分散している。
　　ならば、”Bf内”に、”リプシッツ連続である開区間”など取れるはずがない。” ruler function ”を思い浮かべれば、気付くのは容易だったろう

言ってみれば・・、言われて見れば・・、他愛もない話だろ
が、私スレ主は、これに気付くのに、約一月掛った
お恥ずかしい話だ。その道のプロならわずか３分で気付くだろうな（＾＾

594(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/19(金) 22:21:04.12 ID:Nl8Dprui(15/18) AAS
>>593 関連

下記が正式版みたいだ。内容は殆ど同じだが、引用文献が下記の方が増えているから
http://www.ams.org/journals/bull/2008-45-01/S0273-0979-07-01194-9/S0273-0979-07-01194-9.pdf
THE WORK OF EINSIEDLER, KATOK AND LINDENSTRAUSS ON THE LITTLEWOOD CONJECTURE AKSHAY Venkatesh 著 - ?2008
BULLETIN (New Series) OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
Volume 45, Number 1, January 2008, Pages 117?134
S 0273-0979(07)01194-9
Article electronically published on October 29, 2007

595(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2018/01/19(金) 23:29:16.12 ID:Nl8Dprui(16/18) AAS
>>591 関連

http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/survols.html
http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/LittBes1.pdf
Around the Littlewood conjecture in Diophantine approximation. Yann Bugeaud Publ. Math. Besancon, 5-18, 2014.

http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/
Yann Bugeaud Professeur. Directeur de l'IRMA (Institut de recherche mathematique avancee, U.M.R. 7501).
2015
(avec D. Badziahin, M. Einsiedler et D. Kleinbock) On the complexity of a putative counterexample to the p-adic Littlewood conjecture.
Compos. Math. 151 (2015), 1647-1662.
2011
(avec A. Haynes et S. Velani) Metric considerations concerning the mixed Littlewood Conjecture.
Intern. J. Number Theory 7 (2011), 593-609. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/padicLitt9.pdf
(avec N. Moshchevitin) Badly approximable numbers and Littlewood-type problems.
Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 150 (2011), 215--226. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/Vija1.pdf
2008
(avec B. de Mathan) On a mixed Littlewood conjecture in fields of power series.
Diophantine analysis and related fields (DARF 2007/2008), AIP Conf. Proc. 976, Amer. Inst. Phys., Melville, NY, 2008. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/MLSF1.pdf
2007
(avec B. Adamczewski) On the Littlewood conjecture in fields of power series.
Probability and Number Theory, Kanazawa 2005. Adv. Stud. Pure Math. 49 (2007), 1-20. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/LittleSF1.pdf
(avec M. Drmota et B. de Mathan) On a mixed Littlewood conjecture in Diophantine approximation.
Acta Arith. 128 (2007), 107-124. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/BDdMbis1.pdf
2006
(avec B. Adamczewski) On the Littlewood conjecture in simultaneous Diophantine approximation.
J. London Math. Soc. 73 (2006), 355-366. ( .pdf ) http://irma.math.unistra.fr/~bugeaud/travaux/Petitbois1.pdf

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