[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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64(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 19:55:48.11 ID:dUFtnfpO(8/14) AAS
>>52
まず
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
１）普通の開区間Iと何が違う？
２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
３）”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
これ読んだか？
読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと？
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 20:07:44.47 ID:dUFtnfpO(9/14) AAS
>>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない〜（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
このスレには、必須の人やね〜（＾＾
96(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 13:27:21.76 ID:9/yG/0pd(1/6) AAS
>>64
おっちゃんです。
>＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
>＜おわり＞
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味？ 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。
>１）普通の開区間Iと何が違う？
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。
>２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。
157(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 23:54:32.46 ID:/2xvBEHK(56/58) AAS
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＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
いろいろ調べたが、
やはり、結局は（＾＾
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」は、言えないように思うよ（＾＾
以上
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