[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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574(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 19:47:04.40 ID:IBTJ7HPw(1/13) AAS
>>571
黄金の救急車ですか？（＾＾
ご苦労さまです（＾＾
>Qで不連続は不要です
同意です
なお、”不連続”は、もともとは、>>562の「系1.8 有理数の点で不連続、 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」（>>498）に由来しますよ
>（ある条件）とは？
系1.8の証明のキーになる定理で
>>561の定理1.7 (422 に書いた定理)より
”f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”
が条件です。
なお、定理1.7の結論命題は、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である．」（>>561）です。
（なお、この定理1.7 については、>>561に批判のコメントを書いたので、見て頂ければ幸いです）
575(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 19:49:19.10 ID:IBTJ7HPw(2/13) AAS
>>572
>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています
>ところでリプシッツ不連続とは？
上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です
576(1): １３２人目の素数さん [] 2017/12/26(火) 19:55:00.31 ID:84+rbTu3(3/8) AAS
>>574
ならば
>ここを詳しく書くと
>A:稠密可算集合Q（有理数）で不連続で、その補集合（無理数）で微分可能→B:（ある条件を満たせば、必ず（例え補集合が不連続であってかつ稠密であっても））ある開区間で連続（命題Aは”ある条件を満たす”）→矛盾
ではなくて
A:可算集合の補集合で微分可能→B:ある開区間で連続
ですよ
その条件はAによって満たされています
577(1): １３２人目の素数さん [] 2017/12/26(火) 20:02:52.40 ID:84+rbTu3(4/8) AAS
>>575
>上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
>
>に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
つまり
xにおいて``リプシッツ不連続''とは
limsup[y→x] |(f(y)-f(x))/(y-x)|=+∞
ということですか
ならば
無理数で可微分有理数でリプシッツ不連続な関数は存在しないという結論を導けますよ
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