[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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56(3): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:58:18.30 ID:8RLwNZRE(5/10) AAS
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]：Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) が存在するとする。
正の実数εを任意に取る。I上の無理点aを任意に取る。点aで微分可能な f(x) はaで連続だから、有理数の稠密性から、
通常の位相について、任意のI上のaを含む開区間上に有理数は稠密に存在し、aは孤立点ではない。
従って、或るIの有理点bが存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) に点 (b,f(b)) は存在し、(b,f(b)) は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'を任意に取る。ε'に対して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、x-座標のy、及びy-座標のy'が任意の実数
なるような連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。開区間IはRの連結部分空間だから、
連結な距離空間 R^2 のε'-近傍 U_ε'(b,f(b)) 上において、yが任意のIの有理数、y'が任意の実数なるような
連結距離空間 R^2 の点 (y,y') は稠密に存在し、(y,y') は孤立点ではない。
0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
連結距離空間 R^2 上の点 (y,y') の R^2 のε-近傍 U_ε(y,y') は完全集合となる。従って、yが属しかつIに含まれるような
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
57: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 13:00:53.36 ID:8RLwNZRE(6/10) AAS
あっ、>>56は>>55の続きで、新たな命題の証明。
61: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 16:45:18.79 ID:8RLwNZRE(9/10) AAS
>>56の訂正：
或る正の実数εに対して、或るIの有理数yと或る実数y'が両方共に存在して、…
→ 或る正の実数εについて、或るIの有理数yに対して実数 f(y) が定まって、…
つまり、
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、
以降の「y'」は全部(或るyに対して定まる)「f(y)」に変更。
>0＜ε'＜ε なる実数ε'と正の実数εは両方共に任意であるから、正の実数εを走らせつつ、ε'を条件 0＜ε'＜ε の下で走らせれば、
>或る正の実数εについて、或るIの有理数yと或る実数 f(y) が定まって、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、
>連結距離空間 R^2 上の点 (y,f(y)) の R^2 のε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。従って、…
の部分の「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) は完全集合となる。」は「ε-近傍 U_ε(y,f(y)) の閉包は完全集合となる。」に訂正。
あと、下から4行目の「従って、…」とその直前の文「…「U_ε(y,f(y)) の閉包」は完全集合となる。」との間に、次の一文を挿入。
>同様にして考えると、或る正の実数ε'に対して、或るyとは異なるIの有理数y'に対して実数 f(y') が定まって、連結な距離空間 R^2 から
>誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の点 (y',f(y')) の R^2 のε'-近傍 U_ε'(y',f(y')) の閉包は完全集合となる。
>従って、δ＝min(ε,ε') とおけば、連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、連結距離空間 R^2 上の2点 (y,f(y))、(y',f(y')) の
>各 R^2 のδ-近傍 U_δ(y,f(y))、U_δ(y',f(y')) の各閉包は両方共に完全集合となる。
65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 20:07:44.47 ID:dUFtnfpO(9/14) AAS
>>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない〜（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
このスレには、必須の人やね〜（＾＾
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