[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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527(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 07:59:20.31 ID:R/y0B5bE(2/9) AAS
>>526 つづき
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
以上
534: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 18:05:46.46 ID:I8rwcj5/(3/3) AAS
>>532
「ぷふ」さん、どうも（＾＾
>最初からそういう定義なんです
ああ、そうなんですか？ 定理を書いた人の話は、最初それに否定的だったように聞いた気がしたが・・。気のせいかな（＾＾
>その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
Yes！
(>>526より)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
(引用終わり)
一つは、この上記ｆ（トマエ関数）をｒ乗した関数を考えているわけです。なのでYes！（それで、ｒはいくらでも大きく取れる）
もう一つは、 f(x) = 1/q^rではなく いかなるq^rよりも早く増大する（つまり、いかなる1/q^rよりも早く減少する）関数
w(q) を取って、f(x) = 1/w(q) としましょうということ。でも、無理数点で”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition”が残ると
ここらは、上記のURLを読んでもらう方が話は早いでしょう
（なお、>>527の”co-meager (residual)”は、ベールの範疇定理の用語と解しています。
”c points”がいまいち分らんですが・・（＾＾ ）
以上
540(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 20:03:05.73 ID:U1NU7yFp(8/12) AAS
さて、スレ主が >>527 などで たびたび引用している
＞THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
＞of points that are each dense in the reals.
＞Then g fails to have a derivative on a
＞co-meager (residual) set of points. In fact,
＞g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
＞condition, a pointwise Holder condition,
＞or even any specified pointwise modulus of
＞continuity condition on a co-meager set.
についてもコメントしておく。この定理で扱われている g は、
「ある co-meager set の上で、g は全く pointwise Lipschitz condition を満たさない」
と主張されている。そこで、そのような co-meager set を1つ取って A とでも置いておく。
よって、g は A 上で全く pointwise Lipschitz condition を満たさないことになる。すなわち、
A ⊂ R−B_g
が成り立つことになる。A は co-meager set だったから、R−B_g は例の被覆が絶対に不可能であることが
自動的に従う。よって、このような g は自動的に、例の定理の適用範囲外となる。
特に、スレ主の大好きな f^r 及び f_w は、例の定理の反例に「ならない」ことが確定する。
これにて、スレ主が反例として疑っていた例は悉く壊滅したｗ
そして、上記の理由は「例の定理を経由しない理由」であるため、スレ主が >>497 で求めていた
「見極め」として十分であろう。これにて、いよいよスレ主は、例の「たった2ページの証明」を
読まなければならなくなった。
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