[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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526(6): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 07:58:39.31 ID:R/y0B5bE(1/9) AAS
>>521-522
>>カントール集合で``1個''です
>”S ⊆ ∪iFi”で、Sは集合濃度で連続まで許すのか？
>当然ですよ
なんだよ（＾＾
早く言ってくれればよかったのに（＾＾
でな、下記
リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？
で、いま問題のRuler Functionでは、リウヴィル数が鬼門で
”not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0”なんだよ
つまり、r→∞にしても、リウヴィル数以外の無理数は、Lipschitzianになるが、at the Liouville numbersではだめだと
で、そうすると、定理1.7 (422 に書いた定理)の反例になってないか？
(>>151)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
(抜粋)
・リウヴィル数全体からなる集合は非可算集合であり、実数内で稠密であるが、1次元ルベーグ測度は 0 である。
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(>>494)
(抜粋)
THEOREM 2: The function f^r is: (B) continuous but not Lipschitzian at the Liouville numbers, for every r > 0;
(>>492）
(抜粋)
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
つづく
527(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 07:59:20.31 ID:R/y0B5bE(2/9) AAS
>>526 つづき
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
(引用終り)
以上
532(1): １３２人目の素数さん [] 2017/12/25(月) 17:11:47.85 ID:P3YrdrZj(3/4) AAS
>>526
最初からそういう定義なんです
ところで
その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
そしてその補集合の濃度が非可算であると？
実際にどういう集合か分かりませんが
可算集合→可算個の疎な閉集合で覆える
は当たり前ですが同値ではありませんので
``反例''になっている``根拠''としては薄いと思います
534: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 18:05:46.46 ID:I8rwcj5/(3/3) AAS
>>532
「ぷふ」さん、どうも（＾＾
>最初からそういう定義なんです
ああ、そうなんですか？ 定理を書いた人の話は、最初それに否定的だったように聞いた気がしたが・・。気のせいかな（＾＾
>その関数の微分可能点が無理数の一部分なのですね？
Yes！
(>>526より)
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
(引用終わり)
一つは、この上記ｆ（トマエ関数）をｒ乗した関数を考えているわけです。なのでYes！（それで、ｒはいくらでも大きく取れる）
もう一つは、 f(x) = 1/q^rではなく いかなるq^rよりも早く増大する（つまり、いかなる1/q^rよりも早く減少する）関数
w(q) を取って、f(x) = 1/w(q) としましょうということ。でも、無理数点で”g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition”が残ると
ここらは、上記のURLを読んでもらう方が話は早いでしょう
（なお、>>527の”co-meager (residual)”は、ベールの範疇定理の用語と解しています。
”c points”がいまいち分らんですが・・（＾＾ ）
以上
535(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/25(月) 18:38:17.34 ID:U1NU7yFp(4/12) AAS
>>526
＞リウヴィル数は、非可算集合、実数内で稠密で、ルベーグ測度は 0 であるから、内点を持たない
＞リウヴィル数の各点は、閉集合だと思うが、それで良いかな？
息をするように間違えるゴミクズ。
リウヴィル数の全体を L と置く。お前の持ち出した例では、L ⊂ R−B_f が言えているに過ぎないので、
このままでは例の定理に帰着できず、全く反例になってない。
では、R−B_f ⊂ L が成り立つと仮定した場合はどうか。ここでは一般的に、
R−B_f ⊂ L が成り立つような任意の写像 f：R→R について考えることにする。
L は内点を持たない集合で、L は非可算無限集合である。
よって、もし L 自体が閉集合なら、L は内点を持たない閉集合「１つ」となるので、
「内点を持たない閉集合 F_i の高々可算無限和」… (1)
として F_1＝L, F_i＝φ (i≧2) を採用すれば、R−B_f ⊂ L という包含は
R−B_f ⊂ F_1
を意味することになる。特に、R−B_f は(1)の被覆ができていることになり、例の定理が適用できる。
しかし、L は R 上で稠密なので、既に議論されたことと同じことをすれば矛盾し、例の定理は間違いとなる。
しかし、実際には、L 自体は全く閉集合ではないので、L そのままでは、R−B_f について(1)の被覆が
出来ていることにならず、スレ主の目論見は失敗に終わる。
[続く]
554(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/25(月) 23:48:58.79 ID:R/y0B5bE(9/9) AAS
>>553 つづき
さて、従来の定理との比較で
１）不連続点が、dense（稠密）の場合、http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>526）にあるように、
”g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition,”とある
２）無理数で可微分、dense（稠密）な有理点のみ微分不可の函数は構成あり（>>506）
http://www.mathcounterexamples.net/a-continuous-function-not-differentiable-at-the-rationals-differentiable-elsewhere/
３）で、定理1.7 は、上記をリプシッツ連続（あるいはディニ微分）に、拡張した定理と見ることが出来る。
つまり、Bfが、リプシッツ連続（あるいはディニ微分可）で、
補集合たるR−Bfが稠密の場合、そういう函数が存在しないか、あるいは、（ １）のように）「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」での被覆ができないとなるのだろうか？
なお、以前から言っているが、なぜ３）についての研究が、いままで無かったのか？
そのナゾもまだ解けない
（不成立？）
まあ、年末なので、ゆっくりやりましょう
１）の証明と対比して読まないといけないと思うので
（そうしないと、証明にギャップがあっても気付かないだろうね、おれの頭じゃ（＾＾ ）
以上
575(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/26(火) 19:49:19.10 ID:IBTJ7HPw(2/13) AAS
>>572
>無理数で可微分有理数で不連続な関数は存在しないという結論を導けます
ええ、その通りです。なお>>526 の
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
に、そのような記述があることは、過去なんども紹介しています
>ところでリプシッツ不連続とは？
上記>>574 の定理1.7での Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
に対する補集合 R−Bfが満たすべき性質を、都合上、俗に”リプシッツ不連続”と呼称させて頂きました
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }が、”リプシッツ連続”であること（これの補集合）に対する呼称です
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