[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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502(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/24(日) 15:24:36.25 ID:7MvmOIII(2/2) AAS
>>490
>>501の下から2行目の訂正：
或る正の実数Kが存在して、 → 或る非負実数Kが存在して、
513(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/24(日) 21:53:33.96 ID:Q5UHveEY(16/18) AAS
>>501-502
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
あの・・、補集合 R−Bf というのは、平たくいうと、リプシッツ連続でなく、” |f(x)−f(y)|≦K|x−y| ”とできない場合だよね
で、これは、R上で稠密であってはならない
なぜならば、下記系1.8の証明で、有理数Qが、 1 点集合{p}の可算和であること、及び、稠密性から連続した区間(a, b) 内に必ず有理点{p}を含むという性質を使う
だから、もし、補集合 R−Bfが、R上で稠密でなら、同じ理屈で、区間(a, b) 内に必ず補集合 R−Bfの要素が存在することになり、定理の結論と矛盾するよ
（参考）
（>>490）
証明のPDFから、（ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明PDF ）
系1.8の証明で
「定理1.7 のBf について,
R − Q = (無理数全体) = (f の微分可能点全体) ⊆ Bf
が成り立つので,
R − Bf ⊆ Q = ∪ p∈Q {p} (1)
である. ここで, 1 点集合{p} (p ∈ Q) は全部で可算無限個あり, 各{p} は内点を持たない閉集合であ
るから, (1) の右辺は内点を持たない閉集合の可算和である. よって, 定理1.7 が使えて, f はある開
区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 特に, f は(a, b) の上で連続である (2)
さて, Q はR 上で稠密だから, (a, b) ∩ Q ≠ Φ である. そこで, x ∈ (a, b) ∩ Q を何でもいいから1 つ取る.
(2) より,f は点x で連続であるが, 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.」
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