[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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49(7): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:44:46.31 ID:8RLwNZRE(1/10) AAS
おっちゃんです。
>>23-25、>>27は取り消し。
最初は ε-δ だけで示せると思ったが、落とし穴があった。
Iを開区間とする。連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
証明) [第１段]：開区間Iで定義され、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) が
存在するとする。Iの有理点aを任意に取る。実関数 f(x) は点aで不連続だから、或る正の実数εに対して
正の実数 δ(ε) が定まって、|a−b|＜δ(ε) であって |f(a)−f(b)|≧ε を満たすようなIの有理点bが存在する。
S_1＝{ c∈I | cは無理数で、|c−a|＜δ(ε) }、S_2＝{ c∈I | cは無理数で、|c−b|＜δ(ε) } とおく。すると、
区間Iは連結な実数直線Rの部分空間だから、無理数の稠密性から、max(|c−a|, |c−b|)＜δ(ε) なるIの無理点cが存在し、
(S_1)∩(S_2)≠Φ。有理数の稠密性から、0＜d＜ε なる有理数dが存在して、0＜d/2＜ε/2。A＝d/2 とおく。
50(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:48:30.81 ID:8RLwNZRE(2/10) AAS
(>>49の続き)
[第２段]：i＝1,2 を任意に取る。iに対して点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取る。実関数 f(x) はIの無理点cで連続だから、
Aに対して或る正の実数 δ'(A) が定まって、M＝δ'(A) とおくと、|c−x|＜M のとき |f(c)−f(x)|＜A となる。
|c−x_{i,1}|＜M なるIの点 x_{i,1} を適当に取り、|f(c)−f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A を満たす正の実数 ε_{i,1} を任意に取る。
2以上の正整数nを任意に取る。同様に、|c−x_{i,n}|＜M なるIの点 x_{i,n} を適当に取り、|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,1}
を満たす正の実数 ε_{i,n} を任意に取る。同様に、|c−x_{i,n+1}|＜M なるIの点 x_{i,n+1} を適当に取り、
|f(c)−f(x_{i,n+1})|＜ε_{i,n+1}＜ε_{i,n} を満たす正の実数 ε_{i,n+1} を任意に取る。
2以上の正整数nは任意であるから、nについて帰納的に考えると、任意の2以上の正整数nに対して
次の条件をすべて同時に満たすようなIの実数 x_{i,n}, x_{i,(n+1)} と正の実数 ε_{i,n}, ε_{i,(n±1)} が存在する：
?@)：|c−x_{i,n}|＜M、|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜ε_{i,(n-1)}、
?A)：|c−x_{i,(n+1)}|＜M、|f(c)−f(x_{i,(n+1)})|＜ε_{i,(n+1)}＜ε_{i,n}。
ここに、|c−x_{i,1}|＜M、|f(c)−f(x_{i,1})|＜ε_{i,1}＜A。このとき構成された正の実数列 { ε_{i,n} } は単調減少である。
{ ε_{i,n} } は下に有界で、任意の正整数nに対して ε_{i,n}, x_{i,n} は |f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n} を満たすから、
iに対して或る非負実数 μ_i が存在して { ε_{i,n} } は μ_i に収束し、任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}。
iに対して (S_1)∩(S_2) の点cが任意に取れて、i＝1,2 は任意だったから、各 i＝1,2 に対して、点 c∈(S_1)∩(S_2) を任意に取れば、
すべての正整数nについて条件 |c−x_{i,n}|＜M を満たすようなIの点列 { x_{i,n} } が任意に取れて、
更にiに対して正の単調減少列 { ε_{i,n} }、及び或る非負実数 μ_i がそれぞれ定まって、{ ε_{i,n} } は μ_i に収束し、
任意の正整数nに対して μ_i≦|f(c_i)−f(x_{i,n})|＜ε_{i,n}＜A＝d/2 となる。
52(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 12:51:42.24 ID:S7p1wcDw(2/4) AAS
>>49-50
おっちゃん、どうも、スレ主です。
いつも、ご苦労さまです。
証明投稿の途中で、じゃまかな？（＾＾
そうそう、最初に証明すべき命題をきちんと書いてくれると助かるよ（＾＾
59: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/15(金) 16:37:37.27 ID:8RLwNZRE(7/10) AAS
>>49の訂正：
示す命題の仮定
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、任意の正の実数εに対し、
>任意のIの有理点aと任意の実数yとに対して定まりx-座標が有理数aとなるような、
>連結な距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a,y) が完全集合とする。
は
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
に変更。
>>53の訂正：>>53のはじめの文
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) を完全集合とする。
と途中の文
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) を完全集合とする。
は、それぞれ
>…連結距離空間 R^2 上の点 (a,f(a)) の R^2 のε-近傍 U_ε(a,f(a)) 「の閉包」を完全集合とする。
>同様に、正の実数εと実数 f(b) とに対して、…連結距離空間 R^2 上の点 (b,f(b)) の R^2 のε-近傍 U_ε(b,f(b)) 「の閉包」を完全集合とする。
に訂正。「の閉包」を加える。
64(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 19:55:48.11 ID:dUFtnfpO(8/14) AAS
>>52
まず
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
１）普通の開区間Iと何が違う？
２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
３）”トマエ関数の性質と連続関数の極限による表示 Corollaryは必然に。 コロちゃんぬ (id:corollary2525) 2017-10-24”
http://corollary2525.hatenablog.com/entry/2017/10/24/070606
これ読んだか？
読んだ上で、なお、「任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」だと？
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
65: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/15(金) 20:07:44.47 ID:dUFtnfpO(9/14) AAS
>>56
(抜粋)
（命題）
開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(証明) [第６段]
（中略）
開区間I'が存在して、I'で定義された f(x) について、任意のI'の有理点で不連続、かつ任意のI'の無理点で連続とはなり得ない。
しかし、これは f(x) が任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となることに反し矛盾する。
故に、背理法が適用出来て、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しない。
(引用終り)
ああ、ここで、上記 >>64 ＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。」を使っているのか？
だが、＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞には、反例として、>>64のトマエ関数が挙げられると思うよ
おれの>>34を全然読んでない〜（＾＾
おっちゃん、ほんと、独特のキャラやね〜（＾＾
このスレには、必須の人やね〜（＾＾
96(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/16(土) 13:27:21.76 ID:9/yG/0pd(1/6) AAS
>>64
おっちゃんです。
>＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
>Iを開区間とする。
>連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
>高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
>連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
>このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
>＜おわり＞
>
>申し訳ないが、おれにはこの命題の意味がとれない
その命題の意味？ 開区間Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、
かつ任意のIの無理点で微分可能となる実関数 f(x) は存在しないことを示すための準備。
この場合は完全集合は閉区間と同じ扱いになる。その完全集合つまり閉区間についての
元の仮定が偽で、結論も偽の命題なんだから、対偶を取れば正しい命題になって数学的には正しい命題になる。
今気付いたが、ε-δ だけで示せるだろう。ただ、もっと長くなるとは思う。
>１）普通の開区間Iと何が違う？
この場合も含めて普通は、連結な距離空間 R^2 に定められた距離関数はユークリッド平面 R^2 に
定義された任意の2点に定義された通常の距離の取り方をするが、距離関数の取り方次第では
他の距離関数が定義されたユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うことも出来る。
このときは空間 R^2 を通常のユークリッド平面 R^2 とは異なる扱いをすることになる。
そして、ユークリッド平面 R^2 からその高々有限個の点からなる
離散距離空間を構成することも出来て、通常の距離とは異なる扱いをすることも出来る。
>２）”普通の１変数関数 （x,y）∈R^2 ｙ＝f(x) で、通常のユークリッド距離空間（√（x^2+y^2））”と何が違う？
この場合は普通のユークリッド距離関数と同じと考えて問題はない。
普通はユークリッド平面 R^2 を連結な距離空間として扱うとき、その距離関数は任意の2点間に定義されたような通常の距離関数の取り方をする。
157(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/16(土) 23:54:32.46 ID:/2xvBEHK(56/58) AAS
>>64 戻る
＜おっちゃんの>>49の訂正命題＞
Iを開区間とする。
連結な距離空間 R^2 から誘導される位相について、高々1個の正の実数εに対し、
高々2個のIの異なる有理点 a,b に対してそれぞれy-座標が a' ,b' が定まって得られるような、
連結距離空間 R^2 上のε-近傍 U_ε(a, a'), ε-近傍 U_ε(b, b') の各閉包を完全集合とする。
このとき、Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない。
＜おわり＞
いろいろ調べたが、
やはり、結局は（＾＾
「Iを定義域とし、任意のIの有理点で不連続、かつ任意のIの無理点で連続となる実関数 f(x) は存在しない」は、言えないように思うよ（＾＾
以上
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