[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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475(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:09:15.18 ID:ANqzVc/X(9/13) AAS
被覆できる例を量産するために、スレ主が大好きな「可算無限集合」に絡めて
１つ書いてみるか。
・ f：R→R は、微分不可能な点が高々可算無限個しかないとする。
このとき、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できる。
これを使うと、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x は一瞬で解決する
(f(0)の値を人工的に設定して f：R → R￣ にする、という前提のもとで)。
なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
478(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 20:31:09.98 ID:lrnu6EUA(29/31) AAS
>>473
なるほど、あんた力あるね
しかし、f : R → R￣ なら
f(x)＝1/x は
lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞
と解するべきと思うがね
ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で
lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞
これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）
>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない
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