[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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473(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 19:56:41.23 ID:ANqzVc/X(7/13) AAS
>>469
＞その不連続函数は
俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
が成り立つ。よって、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。
>>470
＞従って、
＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
＞と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。
そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく
f：R−{0} → R￣
なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣
という写像にした場合には、この f に対して R−B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、
・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
が成り立つので、特に R−{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R−B_f ⊂ {0} が成り立つ。
{0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。
477(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 20:22:50.16 ID:lrnu6EUA(28/31) AAS
>>473
>俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
>(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
>が成り立つ。
なるほど。あんた力あるね。（まあ、ディリクレ函数に類似の範囲だが・・）
では、追加質問で悪いが、
変形トマエ函数
f(x)＝ 1/q^n (x は既約有理数p/qで、 n ＝ 2), 0 (x は無理数) ではどうやって適用するのか？
各点毎の”内点を持たない閉集合で被覆できる”か否かの判定はどうやるのか？
478(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 20:31:09.98 ID:lrnu6EUA(29/31) AAS
>>473
なるほど、あんた力あるね
しかし、f : R → R￣ なら
f(x)＝1/x は
lim x→-0 f(X) ＝-∞
lim x→+0 f(X) ＝+∞
と解するべきと思うがね
ならば、その微分f’(x)=-1/x^2で
lim x→-0 f’(x) ＝+∞
lim x→+0 f’(x) ＝+∞
これらは、ｘ＝０のε近傍（開集合）（0-ε、0+ε）で成り立っていると解すべきと思うけどね
まあ、これは定義の問題でもあるかも知れないが・・
（ここらが、曖昧になるから、イプシロンデルタを使う話になるのだが）
>>475
>なぜなら、この f は x＝0 以外の各点で微分可能だからだ。
微分可能（滑らか）ということと、微分係数が∞に発散することとは違うだろ
f(x)＝1/x は、双曲線だから、曲線を原点を中心に回転させれば、微分係数は、発散しない
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