[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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469(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:31:53.87 ID:lrnu6EUA(24/31) AAS
>>466
ご苦労さん（＾＾
”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾
で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、
その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”
当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？ 理由を述べよ！
自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾
471(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:37:15.14 ID:lrnu6EUA(26/31) AAS
>>469 追加
””f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か”
のx＞0の部分な
「その不連続函数は・・」と聞いているから、子供じみた逃げなしないとおもうが
念のためな（＾＾
473(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 19:56:41.23 ID:ANqzVc/X(7/13) AAS
>>469
＞その不連続函数は
俺が持ち出した f に対しては、x＞0 なる任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つので、特に
(0, ＋∞) ⊂ R−B_f
が成り立つ。よって、R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算無限和で被覆できない。
>>470
＞従って、
＞f : R → R￣ として、（R￣は、拡張実数）
＞Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
＞と置くと、R−Bf は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できない！
息を吐くように間違えるゴミクス。f(x)＝1/x という関数は、このままでは x＝0 で値が定義されない。
そして、f(0) の値を定義しないままで居るつもりなら、その関数は f：R → R￣ ではなく
f：R−{0} → R￣
なのであって、例の定理の適用範囲外である。一方で、f(0) の値は何でもいい人工的に設定して f：R → R￣
という写像にした場合には、この f に対して R−B_f は例の被覆が可能である。なぜなら、
・ x＞0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
・ x＜0 なる任意の x で Af(x)＝1/x^2
が成り立つので、特に R−{0} ⊂ B_f が成り立つ。よって、R−B_f ⊂ {0} が成り立つ。
{0} は内点を持たない閉集合であるから、以上より、「被覆できる」。
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