[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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466(1): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 18:08:58.57 ID:ANqzVc/X(6/13) AAS
以下で、スレ主の２種類だけではイコールにならない具体例を挙げる。

f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)

として f：R→R を定義すると、

f(y) / y ＝ 0 (y＜0), 1 (y＞0, y は有理数), −2 (y＞0, y は無理数)

であるから、

Af(0)＝limsup[y→0]｜(f(y)−f(0))/(y−0)｜＝ 2

となる。また、

D^{-}f(0)＝ limsup[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0
D^{+}f(0)＝ limsup[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 1

D_{-}f(0)＝ liminf[y↑0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ 0
D_{+}f(0)＝ liminf[y↓0] (f(y)−f(0))/(y−0) ＝ −2

となる。特に、

max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜ } ＝ 1

max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜} ＝ 2

となるので、この例では

Af(0) ＝ max { ｜D^{-}f(0｜, ｜D^{+}f(0)｜ }　

という等号が成り立たない。しかし、

Af(0) ＝ max{ ｜D^{-}f(0)｜, ｜D^{+}f(0)｜, ｜D_{-}f(0)｜, ｜D_{+}f(0)｜}

という等号は成り立つ。
limsup, liminf の計算すらマトモに出来ない おバカのスレ主には、
この程度ですら難しすぎて全くの想定外だったのだろう。

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469(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 19:31:53.87 ID:lrnu6EUA(24/31) AAS
>>466

ご苦労さん（＾＾

”f(x)＝ 0 (x≦0), x (x＞0, x は有理数), −2x (x＞0, x は無理数)”か
妙に病的な函数を作ったんだね。えらいね。（＾＾

で、その話は了解したが、
良い機会だから聞くが、

その不連続函数は
お前の定理
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、・・”

当てはまるのか、当てはまらないのか？
もし、当てはまらないとすれば、なぜか？　理由を述べよ！

自分の出した例だから、答えられるだろ？（＾＾

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