[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む48 (625ﾚｽ)
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459(2): １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 16:53:18.05 ID:ANqzVc/X(4/13) AAS
ここで、おバカのスレ主にも分かりやすいように、例の定理から即座に従う、
以下の定理を紹介しておく。(ここでは「定理２」と書くことにする)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。一方で、スレ主が引用した
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f：R→R は、任意の x∈R に対して Lips(x,f) が真であるとする。
このとき、任意の x∈R に対して f'_+(x) は有限値である。
(ちなみに、任意の x∈R に対して Af(x) は有限値である、という主張も言える。)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
もしくは
＞”系 1.5 任意の f : [0, 1] ?→ R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．”
という主張からは、定理２は全く出て来ない。もし出てくるというのなら、実際にやってみよ。
スレ主の引用した主張をそのまま適用しても出てこないし、対偶を取っても出てこない。
ついでに言うと、スレ主の引用した主張とは無関係に定理２を直接的に示そうと思っても、
スレ主の力量では それさえも不可能のはず。なぜなら、定理２は「例の定理」と同じく、
ベールのカテゴリ定理を経由するくらいしか証明手段が無い(はず)だからだ。
460(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2017/12/23(土) 17:33:45.39 ID:lrnu6EUA(19/31) AAS
>>456-459
おっさん、必死で考えた言い訳がそれか？
まあ予想の範囲だよ（＾＾
「Af(x) においては絶対値つきで統括して いっぺんにlimsup を取ったような形になっていることを指して
「類似品」と書いた。実は
Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }
が成り立つはずなので、この点からも、Af(x)はディニ微分の類似品であると言える。」
それが、実は定義だろ？
おっさんの
(>>303より)
”定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf(k) :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< k }”
これの定義と、”Af(x) ＝ max { ｜D^{-}f(x)｜, ｜D^{+}f(x)｜, ｜D_{-}f(x)｜, ｜D_{+}f(x)｜ }”とが（＾＾
474: １３２人目の素数さん [sage] 2017/12/23(土) 20:01:03.36 ID:ANqzVc/X(8/13) AAS
>>470
＞だから、おっさんの「定理」の条件”内点を持たない閉集合で被覆できる”は、レアものじゃないのかな〜？（＾＾
全くレアではない。>>459 を読み直せ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理２：
f：R→R は各点で微分可能とする。このとき、ある x∈R に対して Lips(x, f) は真である。( Lips(x, f) の定義は >>406 )
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
なぜこの定理２が成り立つかというと、f が各点で微分可能なら B_f＝R となるので、
R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるので、
例の定理が適用できて、ゆえに「定理２」が成り立つのである。
・・・という議論の途中の部分を読めば分かるように、f が各点で微分可能なら
B_f＝R
となるので、特に R−B_f＝φ となり、よって R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる。
(丁寧に書くと、内点を持たない閉集合 K を何でもいいから1つ取れば、φ⊂K という自明な包含により
R−B_f ⊂ K が成り立つので、被覆できている)。
さらに、既に述べたように、スレ主が持ち出した f(x)＝1/x という関数も、原点での値を
何でもいいから人工的に設定して f：R → R￣ とするならば、R−B_f は例の被覆が「できる」。
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